DÉTBLOPP. DES NOMBRES JNGOMMENSLRABLES EN FRACTIONS CONTINUES

de la forme

YOi -h

a, p, Y, S étant quatre nombres entiers satisfaisant à la condition

«0 — Py = ifc I .

(aS — Py = 4- I ow — I , suivant que les éléments qui précèdent le quotient complet commun, dans les développements de co et de (I)', sont en nombre de même parité ou non,)

Démon Irons maintenant que cette condition est suffisante. En effet, supposons qu'elle soit remplie.

Supposons d^ abord ^ = o.

On a alors

d'où

Donc 0)' se réduit à dz w ±: p.

Si (0'= w d= p, le théorème est évident.

Si w'= — a>±:p, ona

— (o'= o) ip p.

Ce cas se ramène donc au précédent, car si l'on se reporte aux n" 97 et 229, on remarque que les fractions continues qui représentent deux nombres égaux et de signe contraire, sont identiques à partir du quatrième quotient incomplet au plus.

Supposons maintenant -^yéo.

Réduisons la fraction - en fraction continue. Soit ï

Remarquons que l'égalité

prouve que v et a sont premiers entre eux. Donc - est une fraction

IJO rilAP, \\ — LES NOMBRES IXCOXM£NSlJRAM£$.

îrrédiiclible* Si donc on appelle ^ la dernière réduite de la fraclion continue (7), on a

On a d^âilletir^

OU

Maintenant on peut toujours snpposer que X: soit d'une parilt^ telle que la c|iiantilé ao — Py ou Pj^o — Q*^ soil égale h (^ t'f.

Enefït?t, si ûto^ pY*^'^^*' ^ë^^' à{— 1)^', on écrirailla fraction (7) sous la forme

<le sorte que le nombre A" serait augmente d'une miilf^.

Les deux quantités P^Qa^^ — Qj^P^-i et P^o — Q^fJ étant alor?^. toutes les deux, égales à{— 1)*, on a

Pé el Qi étant premiers entre eux, celte égalité donne (n* Ht)

/ étant un nombre entier positif on "négatif -

Par suite, si Ton remplace a, j3, y, 5 par leurs valeurs dan* rt^galité (6) il \ienl

^ ^, ^ P^(tû-f-OH- F>A,i

Ce qui montre que la valeur de «!>' s'obtient en remplaçant^ daoé la fraction couiinue (7), / par / -f — •

Si donc le développemeni de w, en fraction continue régulière.

est