DÉTELOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTLMES. I

on en déduit

(9) w'= [ay b, ..,, /, m -H/, /i, /?, ...].

Si m -h l est positif, cette dernière fraction continue est régulière, c'est la fraction qui représente lo'. Il est visible que les deux fractions (8) et (9) sont identiques à partir du quotient incomplet n et le théorème est démontré.

Si m-\- l est négatif ou nul, on commencera par rendre régulière la fraction continue (9). Comme dans cette transformation les quotients incomplets resteront invariables, à partir d'un certain d'entre eux, les fractions (8) et (9) sont identiques à partir de ce quotient incomplet-là.

234. Nous avons dit plus haut que ao — ^y = 4- 1 ou — i , suivant que les éléments qui précèdent le quotient incomplet commun, dans les développements de o) et de w', sont en nombres de même parité ou non.

La réciproque est vraie.

En effet :

ao — fiY = (— ')*•

D'ailleurs k est le nombre des éléments a, 6, ...,/.

Or comparons les fractions continues (8) et (9). Dans ces fractions, les éléments qui précèdent le quotient incomplet commun n sont au nombre de 1 pour la fraction continue (8) et Âr-f- 1 pour la fraction (9). Ces deux nombres sont donc de même parité ou non, suivant que k est pair ou impair. Si la fraction (9) est régulière, le théorème est démontré.

Sinon, on sait que, en rendant cette fraction régulière, le nombre des éléments modifiés dans le calcul est de même parité que ceux qui les remplacent.

Donc le théorème est encore vrai dans ce cas.

Mais il faut remarquer qu'il n'est pas impossible que deux nombres co, co' soient liés à la fois par deux relations

, atii -h 3 .NO X

'^CO -h , «1(1) -4- ?| / N o V