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Si cela a lieu, il faut nécesmtremeni qiril y aitj datis ta, deux <|uoLienis complets de rangs différems, qui foient ideuliques i 1ID même quotient complet de bâ\ el par coDs^quenl idenliqiies entre eux. De plus, ces deux quotients doivent élre séparés par un nombre impair de qnotienls incomplets*

On en didiiit facilement que les quolienls iocoinplet^ de ta fiirmeni une suite périodique. Nous reviendrons plus loin stîr ce^ fi actions continue» périodiques.

% III. — Distinction entre les nombres conunexisurables et les incommensurables. Recherche des racines commensu râbles des équations algébriques. Nombres algébriques. Théorème de Lion- Tille. Classification des nombres incommensurables.

235. La question s ui va nie se pose maintenu ni : t n nombre tHant déjîni par une suite injinie de nombres t^ntiers^ reconnatlrû si ce nombre esi commensitraùie on incommensurable.

Celte question est loin d'être résolue. Elle est d'ailleurs trAs vâste, » cause de la multitude de façons dont on peut composer la suîle infinie qui définit un nombre* Mais nous possédons déjà les rëâul* lats suivants :

Un nombre étant drjini par son développement en décitna/eSf pour que ce nombre soit commensarable^ ii faut ei ii stiffit que ta suite des chiffres soit, à partir dUm certain rang,

périodique.

Le développement en fraction continue donne un autre critérium.

Pour qu'un nombre soit commensurabief il /tint et it suffit q ue son dé ve îoppe m en t en fra e t ion co n tin ne so it Hm ité ,

236. Racines comme n sur ab tes des équations algébriques. — Soit une équation algébrique

dans laquelle les coefficients a», f7,.*,*,i7,, sont des nombres» entiers.

(lO)

RACINES COMMENSURABLBS DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. Ijà

Voyons d'abord si celte équation a des racines commensurables. II suffît pour cela d'appliquer le théorème suivant :