Si un polynôme à coefficients entiers
aoX"-\- axx^-^ -j-. . .H- an
est divisible, algébriquement, par un autre polynôme à coefficients entiers
b^xi* -h hx xP-^ -h, . .-^ bp
dont les coefficients sont premiers dans leur ensemble, les coefficients du quotient sont des nombres entiers.
En effet, on peut en tout cas supposer les coefficients du quotient réduits au même dénominateur.
Soit alors ^ ' le quotient, de sorte
que
' aoX"-^aiX'^^^-^.. .-^ an-ix-i- Un
= {bQXP-hbiXP-^-\- ,.-hbp-xX-\-bp)- î ^ LJ^JU:^ ^
eSAf, V. — LES !VOMBRB8 CiCUMSfBIfStBÂBLSii.
OU, pour abréger,
/=?xr
11 fauL démontrer cjue M divise tous les coenîcieols de ^; pour cela il f'àiil démontrer que tout facteur premier p. de M divise ces toeflîcienls. Or jjl divhe lous les coefficienls du produit f X 'L d'ailleurs it ne peut pas diviser tous les coeffieients de ^ (putâque par hypothèse ces coefricients sont premiers dans leur ensemble). On est donc ramené à démontrer le théorème suivant î
Si un nombre premier [x dtk-ise iou^ les coejficients du proihtit de detfx polynômes 'f x 'h^ et r/uUt ne divise pas iotts les coefficients de o, il divise toits les coefficienis de ^.
D'abord, si ^ divise certains coefiicicnts de Çj on peiit dans le produit ci retruneber le produit de la somme deees termes pari; il reste le produit t^ji, 'f^ étant un polynôme dans lequel aucun coefficient niest divisible par p., mait* tous les coefficienls de et j^roduil étânl divisibles par pi. Pour ne pas multiplier les itotitjonsj supposons que ee polynôme ft soit le polynôme*^.
Les coeHÛcienls du produit f*h développé sont
è^iCj-h 61 Coi
[^ divise tous ces coefficients.
Le facteur premier \l divisant />ac,y et nedivisanï t>as i*^, divise r„.
fx divisant A^f^ + //, Cjj, et divisant c^ divise />(,c,, ne divisîitit pas ùu il divise c,,
[A divisant ^>ûCVi-h 6,f,H-A2^«, et divisant Cq et c^ divise b^c,: tie divjsiinl pas 6« il divise c^, etc.
Ou voit que [x divise tous les coefficients c^Ci, . , •, r^.
Le théorème est donc démontré,
239, Revenons au cas particulier de ce théorème énoncé au n 237 dont nous avons à nous occuper maintenant.
Pour que Téquation (il) aox^-h aiX'*-^-h. ^ ,-h an-i^ -h aM= o
admette la racine commensurable ~ f — étant réduite à sa plus simple expression] il faut, avons-nous dit, que le polynôme
aoX^-{- UiX^-^ -+-...-+- a„-ix -f- an
soit divisible par le binôme />x — m et que tous les coefficients du quotient soient entiers.
En particulier il en résulte que m doit être diviseur de an et p diviseur de «q. Donc pour trouver toutes les racines commensurâbles de Téquation (ii) il faut procéder de la façon suivante : Prendre, de toutes les manières possibles, un diviseur de a„ comme numérateur, un diviseur de ao comme dénominateur; parmi les fractions ainsi obtenues, ne garder que les irréductibles,
et les faire précéder des signes + et — . Soit — un des nombres
ainsi obtenus : pour voir si ce nombre — est racine, on divise /(:r)
\mr pœ — m; si dans le courant de la division on obtient au quotient un coefficient fractionnaire, ou si le reste de la division n'est
pas nul, — n'est pas racine.
D'ailleurs des circonstances particulières peuvent simplifier le calcul.
En particulier, TAlgèbre enseigne à trouver une limite supé-' Heure et une limite inférieure des racines. Il sera inutile d'essajer des nombres non compris dans ces limites.
On voit aussi que /(or) étant divisible par px — m, et le quotient ayant ses coefficients entiers, si l'on donne à x une valeur entière, la valeur correspondante de /(x) sera un nombre entier divisible par la valeur correspondante de px — m. Par exemple /(i) est divisible par p — m, /( — i) est divisible par — p — m. Ces conditions restreignent les essais à faire sur p et m,
240. Nombres algébriques. — Considérons maintenant une équation débarrassée de ses racines commensurables. Je suppose,
176 CHAP- V, — LES SOUBfïES INCUMME^^l RABLES.
de plus, son premier memljre débarrassé de ses facletirs lïiulliples, d'après les règles données en Algèbre.
Soit /(a) = o. Nous allons montrer comment celte «^qti»lian peni encore admettre comme racines des nombres incommensurables. Pour cela, donnons à œ une suite de valeurs commeosurables
et considérons les signes des expressions
(13} fi^h fiph KV. ^^. /U).
On démontre, en Alg4U)re, qu'il y a un nombre maximum de variations de signe que la suite (i3) puisse préseuler, f|uels cjut* soient les termes extrêmes «, X, et quelque rapprochés quesoîcnl les termes intermédiaires de la suite (ri). On ol) tient ce nombre maximum de variations eu donnant à gt une valeur plus petite qu^uti certain nombre A (limite inférieure des racines), à X nne valeur plus grande qu ^ un cer tai n nom bre L ( I i m i te s u pérleu re des racines 1 et en choisissant les termes intermédiaires successifs p^y^*diderant entre euv de moins d'un certain nombre / (limilc supérieure du module de la différence des racines deux à deux)»Oii apprend d'ailleurs, eu Algèbre, a déterminer 4^ Lr^ /.
Ceci pose, soient y, 5, par exemple, deux termes conséculifs Je Ili suite (12), tels que /(y) et /"(S) soient de signes contraires, leb de plus que si Ton insérait entre y ^t 3 un nombre quelconque de termes commensurables et que Ton substituent dansy(x), la suite des résultats obtenus ne pré sien ta t jamais qu\jne seule variât iau^ quel que lik le nombre de termes introduits. Dans ces conditions on peut partager les nombres commensurables en tJeu% classes :
t" Les nombres commensurables non supérieurs à y, ou ceai qui, étant compris entre y <'t S, donnent à/(x) le signe de /(y);
a° Les notnbres commensurables non inférieurs ïj 5, ou ceu* qui, étanl compris entre y et 0, donnent à/(j^) le signe de /(S)*
Aucun nombre co m men su rable n'échappe à cette classincattoa. puisque, par li\pollicse, aiicuu nombre commensnrabic u'anniiW y(j*). Donc cette classificaiiou définit un nombre iucommcasu rable \.
