NOMBRES ALGÉBRIQUES. I
Ce nombre incommensurable Ç est racine de Téqualion c'esl-à-dire qu'on a
En effet, on démontre en Algèbre que, si x tend vers Ç, la valeur du polynôme /(ar) tend vers/($). Or, d'après la définition de Ç, suivant que x tend vers Ç par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures à Ç, f{x) tend vers f{\) par valeurs d'un certain signe ou par valeurs d'un autre. Cela n'est possible que si
2il. Les règles données en Algèbre pour la division des polynômes en X s'appliquant quelles que soient les valeurs données au symbole x^ on en conclut que, si l'équation /(x)= o admet la racine incommensurable Ç, /{j^) est divisible par x — Ç. On déduit de là qu'une équation algébrique de degré m a au plus m racines; le nombre maximum de variations de signe de la suite (i3) dont on a parlé plus haut est donc au plus égal à m.
Ce nombre maximum peut d'ailleurs être nul, c'est-à-dire qu'il peut arriver que l'équation f(x) = o n'ait pas déracines.
Les nombres incommensurables ainsi définis comme racines d*une équation algébrique s'appellent nombres algébriques.
242. Degré d'un nombre algébrique, — Il vient naturellement à l'idée de classer les nombres algébriques d'après le degré de l'équation à coefficients entiers qui les définit^ mais un nombre algébrique pouvant être racine de plusieurs équations algébriques à coefficients entiers, nous dirons : on appelle degré d'un nombre algébrique, le degré de l'équation ou des équations algébriques à coefficients entiers de plus petit degré possible dont ce nombre est racine.
243. Équations et polynômes irréductibles. — On dit qu'un polynôme à coefficients entiers f{x) est irréductible lorsqu'il n'est divisible par aucun polynôme à coefficients entiers de degré inférieur à lui, pas même par un polynôme de degré zéro. Un polynôme de degré zéro est un nombre. Les coefficients d'un
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polynôme irréductible ne soni donc pas lous divisibles par tin même nombre, autrement dit ils sont premiers dans leur ensemble.
Le polynôme /(r) élanl irrcduciible, réqualion /(»= o esl dite aussi irréductibfe^
Mais comme une équation n^est jamais définie qu*à un faeieur numérique près, nous dirons encore qu'une équation /(,r) =0 est irréductible, lorsque soo premier nombre devient irréductible après suppression d'un facteur numérique commun a tous ies coefficients-
24i, Théoheme, — Léquaiion à coejiclents entiers dr degré le plus petit possible à laquelle sathfail un nombre algébrique, esl irréductible.
En elTet, âoil/(j^) ^ o cette équation. Si elle n*était pas irréductible, le poIjnAme/(^) serait divisible par un polynôme à coe^ ficients entiers (j>(jr) de degré inférieur et Ton aurait
On peut supposer que f(^) a ses coefficients premiers dans leur ensemble; alors, '}(.r) a ses coefficients entiers (n" 238).
Le nombre algébrique en question serait alors racine de Tuiie des équations 'f(jî)=^o ou f(x)=o. Donc l'équation /(jr) = 11 ne serait pas Téquation de degré le plus petit possible à coefll* cients entiers à laquelle pourrait satisfaire ce nombre, ce qui eM contre l'hypothèse.
213. néciproqttement : Si un nombre algébrique \ satisfait à une équation irréductible f{x)=o, le nombre l ne peut satisfaire à une équation à cûefficienls entiers de degré inférieur à celui de /(^r). En effet, si le nombre Ç saiisfaisail à atic équation f{x) ^ o de degré inférieur de f{jr), le nombre l satisferait aussi à léquaiion D(^) = o, D{x) étant le pins grand commun diviseur entre /(.r) et ^(.r).
Ce plus grand commun diviseur, obtenu par des divisions successives, esta coefficients commensurables. H est de degré au plus égal à celui de f{x), donc de degré inférieur à celui de /(^): d^ailleurs il divise /(^). Donc réqnation /(.r) = o ne serait pas irréductible.
