NOMBRES ALGÉBRIQUES. I
246. Théorème. — Quand une équation à coefficients entiers F(x)=o admet une racine Ç, d'une équation irréductible
/{x) = o, elle les admet toutes.
En effet, le nombre $ est aussi racine de Téqualion obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur T){x) entre F(a:) el/{x). Mais, comme l'équation /(x) = o est irréductible, /(x) ne peut avoir d'autre diviseur que lui-même. Donc l'équation D(a:) = o est identique à l'équalion /(x) = o.
Or l'équation F{x)= o admet toutes les racines de l'équation D(x) = o, puisque D(x) est un diviseur de F(x) : le théorème ost donc démontré.
247. En particulier, si deux équations irréductibles ont une racine commune, elles sont identiques. En d'autres termes, un nombre algébrique déterminé ne satisfait qu'à une seule équation irréductible.
De ce dernier résultat combiné avec les théorèmes des n®* 244 et 245, il résulte que la définition du n^ 242 peut être modifiée de la façon suivante :
On appelle degré d'un nombre algébrique le degré de l'équation irréductible à laquelle il satisfait.
Remarquons qu'un nombre commensurable — satisfaisant à
une équation du premier degré px — m = o, les nombres commensurables peuvent se définir comme étant les nombres algébriques du premier degré,
248. Le fait qu'un nombre algébrique du degré m déterminé correspond à une équation irréductible de degré m déterminée peut être considéré du point de vue annoncé au n® 204.
La connaissance d'un nombre algébrique détermine complètement les m-f-i coefficients de Téqualion irréductible correspondante (supposés premiers dans leur ensemble). La réciproque n'est pas toujours vraie, car si ces m -f-i coefficients sont connus, Pëquation est déterminée, mais elle peut avoir plusieurs racines. Dans ce cas, on définira le nombre algébrique par une condition
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CHAF* V. — LES PrOVaBES î?^COXME?iSt]BABLËS.
supplémcnlaire, comme, par exemple, d^être compris entre deux nombres donnés.
Quoi qu'il en soit, on voit qu'il est ioulile, pour définir les nombres algébriques, d*avoir recours, comme pour les nombre» incommensurables en général^ ù une suite infinie de nombres^ enliera, (resLace polnl de \ue que s'est placé Kronecker; mai& bien que la définition du nombre algébrique soil ainsi plus simple, Tappiicalion est plus pénible.
249» On remarquera l'analogie qui existe entre les palynâmes
irréductibles et les nombres premiers.
On peut d'ailleurs faire une tbéorîe des polvnônies en x k coefiicients entiers complètemenL analogue à celle des nombres entiers. L'addition^ la soustraction^ la multiptication de telspolvnômes, donnent toujours naissance a des pol>nôuies de même nature. Pour la divisioji, il suffit qu'un polynôme dividende soil divisible algébriquement pur un poljnôme diviseur, pour que, en supposant les coefficients du diviseur premiers dans leur ensemble, il existe un quotient à coefficients entiers (n'* 238),
La tbéorie du plus grand eu ni mu n diviseur ^subsiste sans modi* (ication. Les polj'nômes irréductibles sont analogues aux nombres premiers absolus. Tout polvnûme à coefficients entiers est décomposabk% d'une seule façon, en un produit de polynômes irréductibles; etc.
