Maintenant, il faut résoudre le problème suivant
Un nombre algébrique éUitU défini par une ét/uaiion algébr iq aeiico effic ie n l s entiers /" ( j' ) =: o et par u n e con dit ion s upplérneniaire [par exemple^ par la condition d'être cùmprts enîre deux nombres a et 6, ne comprenant qu'une racine c/e Véquation f{x)^=:^ o], trouver le degré de ce nombre.
Ce problème revient immédiatement au suivant :
Décomposer un polynôme /(^) à coefficients entiers en /ac^ leurs irréductibles.
On sait que cette décomposition n'est possible que d'une seule
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manière (n** 249). On peut d^ailleurs supposer que les coefficients du polynôme f{x) soient premiers dans leur ensemble.
On peut aussi supposer que le polynôme f{x) n'ait pas de facteurs multiples, car TAlgèbre apprend à trouver ces facteurs.
Pour effectuer la décomposition demandée, cherchons d'abord si f{x) a des diviseurs du premier degré, ces diviseurs étant certainement irréductibles. Cette recherche revient immédiatement à celle des racines commensurables, dont on a parlé au n^ 239.
Cette recherche effectuée, on divise f{x) par le produit de ses
facteurs irréductibles du premier degré, et l'on obtient un quo-
• lient /j(;r) qui n'a plus que des facteurs irréductibles du second
degré au moins [puisque f{x) n'a pas de facteurs du premier
degré, multiples].
Soit
(i4) ax^-\- bx -\- c
un tel facteur.
a est diviseur diî premier coefficient de fi (x), c est diviseur du dernier; on aura donc un nombre limité de systèmes de valeurs possibles pour a et c.
D'ailleurs, f^ {x) étant divisible par ax^ -f- bx -+- c, et le quotient ayant ses coefficients entiers, si l'on donne à x une valeur entière, la valeur correspondante de f^ {x) sera un nombre entier divisible par la valeur correspondante de ax^ -^ bx -\- c. Par exemple, f\{\) est divisible par a -h 6 -h c. Il en résulte qu'à chaque système de valeurs possibles pour a, 6, c, correspond un certain nombre de valeurs possibles pour b. Il reste à essayer les polynômes obtenus et à voir s'ils sont réellement diviseurs de
y, ( jr). [Si, parmi les polynômes du second degré obtenus, il y en a certains que l'on aperçoit ne pas être irréductibles, il est inutile
de les essayer : ils ne peuvent être diviseurs de /% (a;), car f^ (^x) n'a pas de facteur irréductible du premier degré.]
Les polynômes irréductibles du second degré, facteurs deyi(^)
ëtant trouvés, on divise f\[x) par le produit de ces facteurs; on
obtient un quotient fiix)*
On cherche les facteurs irréductibles du troisième degré de
/^(^x) par une méthode analogue, en considérant les valeurs -4-1
et — I de ^ par exemple, et ainsi de suite.
l8l CHAP* T. — LES NOUBIE^ IHCOÏIIENSLTHABLES*
Exemple^ — Soil le polynôme f{;t) — Gj*- — ic^r^-f- 58jrû" jor^— ^J7jr>'+- 139^*— 1 1 1 .r -r- 3<i.
On trouve corainc facleuis du premier degré i^ — 3 ei 3x — 4' el i^'\ Ton divise le poljnôme proposé par le produîl
(■>:r — 3)(3;r-4l, on trouve comme quotient
Soit rt^T^H-^x-l-c un diviseur du second degré de ce poljnome.
a est diviseur de i , doue
c est diviseur de 3, donc
c = :± i ou ir *i.
Enfin a-\-b-\-c est diviseur de /*(i), c'est-à-dire de i, donc
a -h £► -^ c = rt I ou rt A*
On trouve les polynômes suivants comme facteurs possibles dti second degré ;
± (3?« -* a X -+^ 3>j ± { Jî« ^ 5 j^ -+- 3), dr (^* — *i JT ^ 3), :t: (a-* ^ 6 j + tï,
11 suffit évidemment d'essayer les polynômes précédés du signe +. On restreint le nombre des essais en remarquant que/, (— i)ou6 doit être divisible par ^ — /> -h r, de sorte que a — b -\- c ne peut èlrc égal qu'à ± t , ± a, ih 3, ou ± 6*
D'ailleurs tous les polynômes satisfaisant à ces conditions sont irréductibles^ il faut donc les essayer tous.
On voit que la méthode entraîne des calculs pénibles. Dans It* cas présent, on Irouvera que ,r- — 2^+3 est seul un facteur de /i (x) et que le quotient est
Le polynôme/3(.r) étant du Iroisiéiïie degré, et ne pouvant avoir
NOMBRES ALGÉBRIQUES. l83
de diviseur du premier ni du deuxième degré, est irréductible. En définitive, la décomposition de f{x) en facteurs irréductibles est
/■(ar) = (2iF — 3)(3a7 — 4)(a7»— 2a7H-3)(x» — a:H-i).
Les méthodes connues en Algèbre permettent de voir que Tëquation x^ — 2^: + 3 = o n'a pas de racine, et que l'équation x^ — X -\- i = o a une racine.
Donc Téquation f{x) = o a deux racines commensurables, et une racine qui est un nombre algébrique du troisième degré.
251. Définitions. — LesdifTérents nombres algébriques, racines d'une même équation irréductible, s'appellent conjugués,
Nombres transcendants. — Les nombres incommensurables qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants.
L'existence de tels nombres n'est pas évidente a priori, elle sera démontrée plus loin.
