La question suivante se pose maintenant
Un nombre incommensurable étant défini^ reconnaître si ce nombre est algébrique ou transcendant. Dans le cas où il est algébrique, trouver son degré.
Cette question, généralisation de celle posée au n" 23o, est, comme elle, loin d'être résolue. Elle est d'ailleurs aussi très vaste.
Nous avons rappelé plus haut (n° 235) comment le développement en décimales, ou celui en fractions continues, permet de distinguer les nombres commensurables, ou algébriques du premier degré, de tous les autres nombres.
253. Le développement en fraction continue porte plus loin : il permet de distinguer les nombres algébriques du second degré, au moyen du théorème suivant dû à Lagrange :
Tout nombre algébrique du second degré est développable en fraction continue périodique, et, réciproquement, toute fraction continue périodique est égale à un nombre algébrique du second degré.
Une fraction continue périodique est une fraction continue dont
CHaP. W — LES ROSBRSS [ivcoiimi.\scrablëf;.
les quotienls iaconiplels se reproduisent périodiquement à partir d'un certain rang,
234. Avant de di^monlrer le théorème de Lagran«;e^ nous feroos les remarques générales suivantes sur le développement en fractions contiaues des nombres algébriques de degrés quelconques.
Soit une équalion algébrique de degré n n'ayani pas déracine mulliple
Soit 5 une racine de cette équation, définie par le fait qu^elle esl séparée, c'est-à-dire quelle esl comprise entre deux nombres ael ^, et qu elle est la seule comprise entre a et ^-
r*our la développer en fraction continue nous suivrons hi méthode du n**^?.
Soit donc «I la partie entière de Çj nous poserons dans Téqua-
tîon (i5)
x = ai -h — -
L*équaiion qVoD obtient pour ^i,
est également algébrique et de degré n.
A la racine Ç de inéquation (i5) correspond une racine Ç| de réquation (lû) plus grande que i . De même, toutes les racines de l'éqtraljon (iG) correspondant à des racines de Téquahon (i3) ayant a^ pour partie entière sont plus grandes que i* Certaines d*entre elles peuvent avoir même partie entière que Ç».
Mais les racines de Tèquation (H>) qui correspondent â des racines de Téquaiion (i3) n'aj^ant pas a^ comme partie entière, sont plus petites que i, el^ par suite, n'ont pas même partie entière que Ç,,
Maintenant soit €i^ cette partie entière de lu nous poserons dans Téq nation (ii3)
a?i = flj H- - — •
L'équation qu*on obtient pour j^g,
est encore algébrique et de degré m.
NOMBRES ALGÉBRIQUES. l85
 la racine ii de réquation (16) et à toutes celles qui ont n^ pour partie entière, correspondent des racines de l'équation (17) plus grandes que 1; mais aux autres racines de l'équation (16) correspondent des racines de Téquation (17) plus petites que i.
En continuant ce procédé, comme il est impossible que deux racines de l'équation f{x) = o aient indéfiniment les mêmes quotients incomplets (puisque, si cela avait lieu, elles seraient égales, et qu'on a supposé l'équation (i5) débarrassée de ses racines égales) on sera conduit à une équation
a^^ant une seule racine \k plus grande que i. Soit a^^, la partie entière de Ça»
Si maintenant on pose
l'équation en x^^i aura une racine positive correspondant à \k et toutes les autres seront négatives; et il en sera de même dans toutes les équations suivantes.
255. Nous allons maintenant établir une relation de grandeur qui existe entre les coefficients des équations successives fk{xk) = o.
Soient—!^, ^ la (Â — i )'*"•' et la A-»*»* réduite du développement de Ç.
Pour avoir le (^-hi)*'"** quotient incomplet, il suffit, dans réquation /{x) = o qui définit x^ de poser
iik^k-^Qk-t'
et de calculer la partie entière de Xf(. L'équation en jta ^st donc
./ PkTk-^Pk--i \^ ^\Qk^k^Qk-tJ^
ou, en rendant homogène la fonction /,
/{PkOPk-^ Pa-i, Qaj^ah- Qa-i) = o,
l86 CHAP. \\ — LIS KOIKAËS |?C€0MMgï«$CJBÂBLE5
OU en développant
-H{^^-)''-«(pA.t/;,+ Q<^l/gJ--...^/(P*^,.Q<-l)-0.
Considérons les coefficients de celle équation, le preraier esl
Posons
11 en résulte ou
;|Miisque/(Ç) = o].
MaiaieDanl, d'nprès ce qu'on a vu au n* 926,
Donc
Q*Q*+i "^Qf
et comme Qa> i et que \/\ \y \fi%\j elc*, sont plus petits que des nombres fixes (indépendants de A), on voit que
|A,|<aû(QAy'-^
an étant un nombre positif fixe.
Le second coefficient de Féquation (j8) esl (en appelant y et i les dérivées de f{jc) par rapport à r et a une variable d'homo* généitéjK),
A. = P.. A-. Q.../i.=. Qr- Q.^. [5^ , (^) ^ *(^)]
SI l'on développe la quantité entre crochets, le terme indépendant des £ se réduit à /(S), c*est-à-dire à séro.
Les termes du premier degré j par rapport aux e, sont
THÉORfeME DE LIOITILLE. 187
îls sont plus petits en valeur absolue que ^r-^ — multiplié par un nombre fixe.
Quant aux termes de degré supérieur par rapport aux s, par exemple les termes de degré />, en les calculant, on voit qu'ils sont plus petils en valeur absolue que des quantités de la forme
01 — Qt^f^^^ multipliées par des nombres fixes; a fortiori, sont
elles plus petites que ^— — multiplié par un nombre fixe. Il en résulte que
|A,'<cc|Qr^
a« étant un nombre fixe.
Il en est de même pour tous les coefficients de l'équation (i8).
Tous ces coefficients sont, en valeur absolue, plus petits que Qa~^ multipliés par des nombres fixes, indépendants de A*.
256. De cette relation de grandeur à laquelle doivent satisfaire les coefficients des équations successives /a(xa) = o, nous allons en déduire une autre relative aux quotients incomplets eux-mêmes.
On sait, en effet, que la seule racine positive de l'équation fff(^Xk)= o est plus petite que
et a fortiori que
N désignant la valeur absolue du plus grand coefficient négatif dans l'équation. Il en est de même, a fortiori, du quotient incomplet ak^xj d'où, d'après ce que l'on 'a dit plus haut,
(«9) a*^,<aQJ-*,
a étant un nombre fixe.
Ce théorème est dû à Liouville, qui l'a démontré d'une autre façon (*).
( ') Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques ( Journal de Lioui?ille, t. XVI). La démonstration de Liouville est plus simple que la nôtre, mais elle ne donne pas le théorème de Lagrange comme cas particulier.
î88 CMiV. V, — LES HOMBRES iNC03l!|ENSURABUS.
2o7. Comme le remarque Lîou\ille, ce ihéorérae prouve reiFslence de nombres incommeosurableâ Iranscendanls, existence qui n'est pas évidente a priori.
Il est, en effet, bien évident que Ton peut cboisir une suite dm nombres entiers c/^, a», . . *, cï^j . .. tels que, quels que soient les nombres fîves a et /?, l^inégalile (tg) ne soit pas vérifiée jiour toute valeur de X ; il suffit, par exemple, de prendre
la valeur de !a fraction continue dont tes quotients incomplets sont a^ , a^, . . , , a^i * * * est nécessairement un nombre incommensurable transcendant*
I nr. — Nombres algébriques du second degré.
2S8, Dans le cas où n-==^ %^ Qï'^ s^ réduit à i, donc les ioégalités précédentes montrent que les coefficients Aq, Ai, Aj soot inférieurs, en valeur absolue, à des nombres (ïxes*
Donc, après un certain nombre d'opérations on retombe sur une équation déjà trouvée ; ces équations et, par suite, les quotients incomplets, se reproduisent périodiquement a partir d'un certain d'entre eux. On a donc le ihéorème deLagrange, que nous avons df^jà énoncé au n" 233 :
Les nombres algébriques du second degré se dé^eioppeni en fraction continue périodique.
2S0. Vu rimportance de ce théorème, nous allons en donner une démonstration directe. Cette démonstration repo^ sur le lemmê suivant :
Lemme. — Soii une équation du second degré à coefficients entiers
fio)
«U?*-i- lfX*hÛ
5/ ton pose
J? ^ fJl ^
m étant un nombre entier^ y satisfait à une équation du second
