NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ
degré à coefficients entiers
a'y^ -h b'y -+- c' = o, telle que
En eflel, en remplaçant x par sa valeur (21) dans Téquation (ao), on trouve
alm-\ j -h6fmH — \ -^ c = i
ou
{am'^-{' bm -f- c)y^-\-{iam -+- 6)^^-1- a = o,
équation à coefficients entiers. Or, si Ton pose
am»4- bm -^ c = a\
lam -h 6 =6'»
on a
b'^— 4«'c'= (2«/n -+- ^)' — ^{am"^-^ bm '\' c)a =: b^^ ^ac,
260. Ce lemme démontré, supposons que nous ayons à développer en fraction continue, une racine positive d'une équation du second degré. On sait qu'en suivant la méthode indiquée au n® 254, on est amené, après avoir trouvé un certain nombre de quotients incomplets, à une équation qui n'a qu'une racine positive. Nous raisonnerons donc sur une telle équation, c'està-dire sur une équation
(22) a^*-+- 6ar -h c = o,
dans laquelle a et c sont de signes contraires.
Soit m< la partie entière de la racine positive, nous devons
poser
rr = miH ,
el nous obtenons pour X| une équation du second degré
a jant une seule racine positive, el, par conséquent, dans laquelle cii el c^ sont de signes contraires.
Soit ma la partie entière de la racine positive de cette nouvelle
écfuatioD, nous posons
et nous obtenons pour ^r^ une équaUon
ayant une seule racine positive, et, par consëquenl, dans laquelle «a ^t C2 sont de signes contraires.
El ainsi de suite; les quotients complets successifs sont déterminés par les équations (2a), (aS), (24) et les suivantes
et l'on a et, de plus,
ac < <j,
«it'i< o.
aiC^<o,
Mais le nombre des équations du second degré Ax*+ tix H- C ^ o satlsfaisaDfl à ces conditions est limité. En effet, si Ton appelle À la valeur commune des quantités (25), on a
avec
On en d<Mtiîl d'où
AG<o.
On voit que si Ton appelle A le plus grand entier conlcnu dans ijlj le nombre B ne peut avoir que les valeurs
Ot
D'ailleurs, à une valeur driernunéc de Bj correspond pour A et Ç un système de valeurs de vaut s^tisifaire à la condilton
Le nombre de ces systèmes de valeurs est également liniilt^
