NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ

Puisque le nombre des équations satisfaisant aux conditions indiquées est limité, les quotients incomplets qui sont les racines positives de ces équations, sont aussi en nombre limité. Donc, si l'on effectue la réduction de x en fraction continue, il arrive un moment où Ton tombe sur un quotient incomplet déterminé par une équation identique à celle qui définissait un quotient incomplet précédent. Il est clair qu'à partir de ce moment, les équations et, par suite, les quotients incomplets se reproduisent périodiquement.

Exemple. — Soit Féquation

Celte équation a une racine comprise entre 4 et 5; c'est celle que nous voulons développer. On a les équations suivantes :

\^x\ — SStj — i3 = o,

jr, = 2 H »

jj-* — 4ix,— 19 = 0,

jr, = 6 H >

19XJ 35X;— l3 = o.

L'équation en Xi^ est identique à l'équation en x^. On a donc X = p.-x, 6, 3, 2, 6, 3, ...1, la période étant