La réciproque du théorème précédent est vraie
Toute fraction continue périodique est égale à un nombre dlgébrique du second degré.
CRAP, V-
L£S NOiaR£f» INCOMMOSURABLE».
En effet^ soîeal €ïji le premier quotient incomplel de la première période, h le nonibie de termes de la période, de sorie que
et auBs!
Soil X la valeur de la fraclion conlioue illimitée. On a
OU
(QA,.r - Pa^, )j*a-i h- QA-3:r — P^^, ^ o,
Éliminant ^A i entre ces deux éqnationâ, on trouve une é<|iifttîoti du second degré x^
a6) — (Qj^-i PxWi-l- QA-lPjt+A-l
-h Pa^i P^.A^i- P*-»Pi^A^i = 0.
On voit facilemeol que cette équation a nne racine compris^^ entre ./^' et^r^^* En eiïel, les résultuts de substitution de ^r"^
et ^^ à j?, dans le premier membre, sont é^au\ respect! venieul à
et à
Diaprés les ibéorèmes connus sur le degré et le sensderapproxîmalion des réduiles successsives, il est visible que, dans too^^ les cas, ces doux qtianlitéâ sont de signe contraire»
Cest cette racine qui est égale à ^.
202. Fractions continues périùdlqnes simples, fracliùm continues périodiques mijttes.
On appelle /rrtc/f 071 conlinue périodique simple une frâc tîon dont h période commence au premier quotient incomplel^
NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ. IqS
c'est-à-dire une fraction de la forme
Au contraire, on appelle fraction continue périodique mixte, une fraction dont la période ne commence pas au premier quotient incomplet.
263. Posons-nous la question suivante : Étant donné un nombre du second degré, reconnaître si ce nombre se réduit en fraction continue périodique simple ou en fraction périodique
mixte.
D'abord un nombre du second degré négatif donne naissance à une fraction continue dont le premier quotient incomplet est négatif, donc nécessairement à une fraction périodique mixte.
Ne considérons donc plus que les nombres du second degré positifs.
Nous allons d'abord étudier la question réciproque de la question proposée, à savoir : suivant que la fraction continue est simple ou mixte, quelles sont les propriétés des racines de l'équation à laquelle satisfait cette fraction.
264. Théorème. — L^équation du second degré à laquelle satisfait la valeur d'une fraction continue périodique simple a ses deux racines x^j x^ de signes contraires. De plus, ces racines satisfont aux inégalités
(^7) — i<.Ti<o<i < j-i.
En effet, soil la fraction
(28) Ta, 0, ..., /, a, 6, .... /, . . . j,
l'équation à laquelle satisfait la valeur de cette fraction s'obtient en faisant k = i dans l'équation (26), ce qui donne [en se rappelant (n« 90) que Po= i, Qo= o, P., = o, Q., = 1]
Q/ka?«-h (Qa-i- P/,)x - P/i-i = o.
Jijj cuir. V* — LE!^ KOMBItBS |?r€0M1IENSL'lÂILES.
Il est évident que cette équation a ses deux racines de signes contraires.
D'autre part, la racine positive de cette équation, étant égale h U fraction continue (^8), est plus grande que a et, par suite, que i.
Enfin, SI nous remplaçons j: par — i dans le premier tnemlire de réqualion, nous trouvons
Q/i -- O/î-i -^ Pa— î^A-ï»
quantité é%îdemnient positive; donc — j est extérieur aux racines: d'ailleurs, ne pouvant élre plus grand que la plus grande, qui est positive, il est plus petit que la plus petite. Les inégalités (27) sont donc établies,
26S. Teêdreme. — U équation du second degré, ti laquelle xfitîs/ait la valeur d'une fraction périodique mi^stef dont lu pftrtie irrégulière ne contient quUtn qttottent incomplet, peut tuoir ses deux racines x, , x^ posinves, ou ses deux racines de signes contraires; mais, dans ce dernier cas, la racine nêgûit\e est plus petite que -^ i ,
Soit
La. b. ...
la fraction considérée.
La valeur de cette fraction est racine d^ioe équation qui s^nbtient en faisant /i ^ •?, dans Téqualion (a6). On trouve ain^î. ci» remarquant d'ailleurs que P* = m et Q^ :^ 1 p
Q/^j:'~(P/i-r- /nQh~ Q/i^|}Jf H- mP/4— P/^^i - o.
Le produit des racines esL
Qa ou, en remplaçant P^+t par i]\ -h l%i,
Si m > /, comme d'ailleurs lVt> 1*a m ce produit est pûsi
lif
NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ. IqS
D'ailleurs Tune des racines est égale à la valeur de la fraction continue que Ton a supposée positive.
Donc si m > / les deux racines sont positives.
m ne peut pas être égal à /, parce qu'alors la période commencerait au premier quotient incomplet, et la fraction serait périodique simple.
Si m<Clj le produit des racines est négatif; les racines sont donc de signes contraires.
Remplaçons alors x par — i dans le premier membre de l'équation; nous trouvons
( Q/i -t- Pa )( iH- /?t) -( Pa-hi -H Q/i-H, ) ou, en remplaçant Pa+, et Qa^., par /Pa+Pa-i et /Qa+Qa-i,
(Qa-+-P/*)(i-+-/W) — (^QA-+-Q/,-,-H/P/i-HP/,-i)
ou
(Qa-^ P/.) (I -+- Aw - /) - (Q/i-,-t- P/,i).
Or I -f- m — / étant négatif ou nul, ce résultat de substitution est négatif. Donc la racine négative est plus petite que — i .
266. Théorème. — V équation du second degré, à laquelle satisfait la valeur d^ une fraction périodique mixte, dont la partie irrégulière contient deux quotients incomplets, a ses deux racines positives , excepté si le premier quotient incomplet est nul et le second plus petit que le dernier quotient incomplet de la période. Dans ce cas, les racines sont de signes contraires, mais la racine positive est plus petite que i .
En effet, soit
la fraction proposée. On obtient l'équation à laquelle elle satisfait en faisant, dans l'équation (26), â:=:3; on trouve ensuite, par un calcul analogue au précédent, pour produit des racines
\ni P/,H, P/,+, /n. Y\ f\ '
n — / nVst pas oui, car sinon la période commencerait un raaf plus Lot qu^on u^a supposé. Donc, si m n^est pas nul, les qum-
tîtés — ? ir^' Yr^ étant plus petites que i, on voit que les dçtiï
termes de la fraction sont du signe de n^l; donc cette fraction est po&ÎLÎve, et les deux racines sont de même ^igne. D^ailleurs Tune d'elles (la valeur de la fraction continue) est positive. Doue elles le sont toutes les deux.
Si m =. o, la fraction se réduit à
o, n, a, h, . . ,, i.rjt. à.
Elle est égale à l'inverse de ta fraction
In.ai .,.,;, a,. *,,/, ..J,
Donc Téquation dont dépend la première fraction acammeF»* cines les inverses de celle dont dépend la seconde fraction. Or ûû sait que, ou bien la seconde équation a ses deux racines positives (si /!>/), il en est alors de même de la première; ou l>ien la seconde équation a une racine positive plus grande que i, et mie racine négative (sî n<ii); alors la première a une racine pasîlivt; plus petite que i et une racine né^^'ative.
267. Théorème, — L'équation du second degré, à Imiueltc^ satisfait la valeur d'une fraction périodique mixte, dont la partie irrégulière cùntieni plus de deux quotients incomplets^ a ses deux racines positives.
En effet j soit
ïm,H, ...,p,a, b, ..., tf a, ù, ..., t, .,,1
cette fraction, la partie irrégulière contient A — i termes.
L^équation à laquelle satisfait cette fraction est réquation (26). Le produit des racines est
