NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ. I
qu'on transforme facilement en
(pQk-t H- QA:-3 )QA:-I-/«-î — Qk+t{ IQk-hh-i -+■ Qa-»-A-8 )
ou
^ Pk-t Pk^h-t Pk-tpk^h-t
D - / est un entier non nul; ^, w^"^^ ^' ^^^^^ sont des
fractions plus petites que i; donc ce produit est positif. Donc les deux racines sont de même signe et, par suite, positives.
268. Conclusion, — Des théorèmes précédents on conclut que les racines de l'équation du second degré à laquelle satisfait une fraction périodique simple satisfont aux inégalités (27), mais que les racines de l'équation du second degré à laquelle satisfait une fraction non périodique simple n'y satisfont jamais. Donc :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre algébrique du second degré soit convertible en une fraction continue périodique simple est que ce nombre soit plus grand que i et que son conjugué soit compris entre o et — i .
Soit
l'équation dont ce nombre est racine.
Les conditions précédentes donnent
{a — ib -\- c)c < o, (a -4- 26 -h c)a < o.
269. Condition pour que deux nombres algébriques du second degré O), (s)' donnent naissance à deux fractions continues dont les périodes soient formées des mêmes termes, se succédant dans le même ordre, les périodes ne différant que par le terme initial.
Autrement dit, les deux périodes se déduisent l'une de l'autre par permutation circulaire des éléments.
tgS OfAP. V, — LES 50M11ES INCOMMl^rSinRAULES.
Si les deux périodes élaîerjL écrites sur une circonférence^ d<: laçop que le dernier terme revînt se placer à côlé du premier, elles seraient identiques.
Il est bien ëvideni que cela revient à dire que les deu3t fraetioti^ continues sonl îdenliques à partir d*un cerlaîn quotient incomplet et rëciproquemenL.
Donc la condition cherchée est (0° S133) qu'il existe entre Ie*i deux nombres la, w' une relation de la forme
, xta -+■ 3
%j (3, y, étant quatre nombres entiers satisfaisant â l'une de^ conditions
it^ — py — Ttt,
Nous terminerons ces considérations sur les fractions contiaiie'ï périodiques par le théorème suivant qui nous sera utile plus tard :
