Théorème. — Soil
\fj, b, , .^, i, a, ù. .. ,, L ...] = X
une fraction périodique simple dont la période coniieni h éléments. Si h est impair, il existe quatre nombres entiers \j jÀ^ V, satisfaisant à f égalité
ei tels que
Xp^f4v=-
Im-
vaf H- p
Réciproquement, si la valeur j^ d'une fraction périadiffu*' simple satisfait à une égalité de la forme (3o), Âj Uj y, p étant des nombres entiers satisfaisant à r égalité (39), le nombre des termes de la période de x est impair.
En elTetj si Ton désigne par - et ^ la deruit re et ravant-der-
^ P oière réduites de la fraction continue limitée
\a,b,,.,,il
NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRfi. 199
on a, d'une part,
vx -H p
et, d'autre part,
Réciproquement, si l'on a
kX -\- [L
VJ7-T- p
et
Xp — (IV = — I , h est impair.
En effet, l'égalité x = — — ^ est un cas particulier de l'égalité (6) du n° 233, o)' et o) étant égaux à x. Soit donc
ce développement étant écrit de façon qu'il ait un nombre impair 'xp 4- I d'éléments ( ô étant remplacé au besoin par — i -+- - K on en déduit, comme au n^ 233, (3l) a? = [a,p,...,e,/-Ha-]= ra,p,...,e,rH-a,6,c,...,/,a, ...,/,...!.
Si cette fraction est irrégulière, transformons-la en fraction continue régulière. On pourra dans la fraction (3i) trouver une période (a, 6, . . . , /) assez éloignée, la (A' -+- i)'*"« par exemple, telle que cette période et les suivantes ne soient pas changées.
Quant aux a/? -h i H- ArA éléments précédents, ils sont remplacés par des éléments dont le nombre est de même parité que
2^ -f- i-H kh.
Le nombre de ces éléments peut donc être représenté par
iq '\-\-\'kh.
On obtient ainsi
x=/a'p'...Ca, ^ ...,/, ci,b, ..., /, ...\; le nombre des éléments a'^'. . .Ç' étant
2ÙO
CHAP, T. — TlSllÔiillsmCOîliiEKSLRAitfc».
Mais ce développement de x^ ëtaal régulier, doit être identique au développement
Donc les 2^ H- i ^ kh premiers ëiémenis consUiuenl un certain nombre de périodes.
Donc 'Jif/ -\-i -^kfi esi un multiple de /i. Donc il en eâi de même de ay -f- k Mais 2q -h i est impair. Donc h^ qui est un diviseur de 2iy + I , est lui-niémc impair {*).
(') La rccltercUc drs carai^lères r|u» disliTigucut les riombtc^ t'omincftsurable» des iticcimtiiensurabLeâ, les nombres algébriques des différcois degrés tnlrt eus, et enlîti les nombres algébriques des nombi^s transicendaau, est très peu avanrêe.
Il n'y a guère a citer comme rt^Miltai positif, à pttrt ceux énoncés dins ee Ch*rilre, que le théorème suivant : ies nonthres e et tc tant transcendants.
Les premières recherches, relatives k ce sujet soûl ducs à Lambert {A%iémùêr^ de l'Académie de Berlin ^ 1761, p. a 65).
La transccrtdaucc de « a été démoDlréc pour h première fols par \L Het-aiîtr {S tir la fond ion exponentielle^ P*ri*; 1874).
CeUe de it a été démoiilrée pour Ui première fois par M. Lindemann {Muihematische Annalen, lîd. 20, p. n3).
En ces deruiers temps, M. Klein a doniié de ce& deux irans^^eodafice* la démonstration la plus simple qui existe (voir Leçom sur cerf aines questions de Géométrie élémentaire, tiédactton française par J, Gnresa ; Paris, Non> ).
Jacobi a essayé de généraliser le tbéorênie de La granit;, pour les nombres algébriques du troisième degré, par un algorithme, généra li sa tinn de» fraettcms continues. La question a été reprise par MM. Hermile et Charve, mais o'i pas été résolue complétementH { Votr Vortesungen iiber die Nùtur der IrrutmmmisaïUenf par Baclimann. p. laS et suiv. Leipattg^ Teubner)
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FORMES QUADRATIQUES RINAIRES. 201
