CHAPITRE VI
LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES
§ I. — Formes quadratiques binaires. Formes contenues Tune dans l'autre.
271. On appelle /orme un polynôme entier homogène^ Les formes se classent, d'après le nombre de leurs variables, en formes à une variable, deux variables ou binaires, trois variables ou ternaires, etc.; et, d'après leur degré par rapport à ces variables, en formes linéaires, quadratiques, cubiques, etc.
Les formes dont nous nous occuperons ici sont à coefficients entiers, et les variables y sont supposées recevoir des valeurs entières. Aux n®* 113 et 114 nous avons parlé des formes linéaires. Actuellement nous nous occuperons des formes quadratiques binaires.
272. Dans une telle forme, il y a trois termes, un terme en x^^ un terme en xy et un terme en y^ (j*, y étant les variables). On peut supposer que le coefficient du terme en xy soit pair; car s'il n'en était pas ainsi, on multiplierait la forme par 2, et l'on étudierait la forme obtenue.
Soit donc
ax'^ -h ibxy -+- cy^
une forme quadratique binaire.
Nous désignerons souvent cette forme par la notation plus simple (a, b, c).
Si b^ — ac est un carré parfait, la forme quadratique se décompose en un produit de deux formes linéaires à coefficients entiers, divisé par a,
ax'^-^^bxy -4- cj^*= —{ax-^by-^ ^b^^acy){ax'\-by — ^b^^acy)-
aiAP. vL
LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES
Nous supposerons donc à Tavenir que ù- — ac n'est pas un carré parfaii^
Celle expression changée de signe ^ soit ac ^ b^^ âe nomme le discriminant de la forme et nous le dt^ signerons par D-
273. Le problème qui nous occupera prîncîpalemeni est de savoir qut^ls sonf ies nombres qui sont représentables par une Jo I m e q u a dra i iq a e. bin a ire .
D'après les dénnilions données au n" 113 nous dirons qu'un nombre n esi reprcsenlabte par la lortne «x^^-t- atjry + rj* )orst|u'fl existe des valeurs de œ ely telles que
ax* -i-2b^y -h cy^ ^ n .
274, Représentation propre et impropre. — Mais nous ferons immédialement une dlslinclîofi. ISous dirons que la représenlalion
du nombre n par la forme est une représenlalion propre , lorsque X et y sont premiers entre eux.
La représenlalion esl impropre dans le cas coniraire.
Supposons qu'un nombre ^ soit improprement repr/senlé par une forme ax^-h àùxj- ~l- cy^j soil ô le plus grand commun divi- :§eiir de 0? el^5 soit
x' el^' sont premiers entre eux, et Ton a
ce qui montre : i^ que n esl divisible par 5-; li"* que ^ est prù-
prement représente par la forme {a, i, c).
11 suit de là que pour trouver les formes qui peuvent représenier improprement un nombre donné, !J suffit de diviser ce nombre par les diviseurs carrés qu'il peut avoir^ et de chercher les représentations /?ro/Jre5 des quotients.
Inversement, pour trouver les nombres qu%me forme donner» peut représenter improprement, il su fil L de trouver ceint qu'elle peut représenter proprement, et de les multiplier par dei carm quelconques.
FORHES QUADRATIQUES BINAIRES. 2o3
A partir de maintenant nous ne nous occuperons donc plus que de la représentation propre, et il nous arrivera de sous-entendre le mot /?ro/?re sans qu'il en résulte d'ambiguïté.
