NOMBRES PREMIERS

i n'est pas un nombre premier, on L'efface. 2 est premier, mais les nombres 4; 6, 8, ..., de deux en deux à partir de 2, ne sont pas premiers; on les efface. 3 est premier, mais les nombres <>. 9, . . ., de trois en trois à partir de >. ne sont pus premiers; on les efface. Et ainsi de suite. On remarque que :

1" Quand on a effacé les multiples d un nombre premier », le premier nombre non effacé après p est premier. — En effet, il ne peut avoir de diviseur premier, puisque les multiples de tous les nombres premiers, plus petits que lui, ont été effacés.

■>." Quand on efface les multiples d' un nombre premier </, on peut commencer à </-. — En effet, les multiples précédents de a ont été effacés, comme multiples de nombres premiers plus petits que q.

3" Excepté 2, tous les nombres premiers sont impairs. D'ailleurs, dans la suite des nombres impairs, les multiples d'un nombre impair p se succèdent de p en p ('), comme dans la suite naturelle des nombres. On peut donc se borner à écrire les nombres impairs depuis 1 jusqu'à la limite voulue, et à leur appliquer le procédé qui vient d'être décrit. On rétablira ensuite dans la table le nombre 2.

37. Quant au problème suivant : Reconnaître si un nombre est premier, on pourra toujours le résoudre, même si l'on ne possède pas de table des nombres premiers, en essayant les divisions du nombre donné par les nombres plus petits que lui. Si aucune ne réussit, ce nombre est premier (-).

38. Remarque. — Tous les nombres premiers sont des multiples de 4 augmentés ou diminués de 1 ; ce sont aussi des multiples de 6 augmentés ou diminués de 1. Les réciproques de ces théorèmes ne sont pas vraies.

39. ipplication de la décomposition des nombres en facteurs premiers. — La décomposition des nombres en facteurs

(') Ceci n'est pas évident, mais résulte simplement de ce qu'un multiple de />, kp, est impair lorsque k est impair el dans cr cas seulement. Les multiples impairs <le p sont donc />, '■'>/>, ■</> La différence entre deux consécutifs esl

égale .1 ■/>; donc ils se suivent de p eu /> dans la suite des nombres impairs.

(- ) \ oir la note C.

l8 CHAP. I. — RAPPEL DBS THÉO RI BS LBS PLUS ÉLÉMENTAIRES.

premiers mel en évidence certaines propriétés de ces nombres. Par exemple si l'on considère, 'l'une part, que pour faire le pro- (Imi de deux nombres il su f fil de former un produit unique avec ton-; les facteurs premiers ru ni nuis dans ces deux nombres; d'autre part, que le produit ainsi obtenu se trouve décomposé en facteurs premiers el ne peul l'être d'une autre façon, on en conclut que :

Pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il faut et il suffit qu'il en contienne tous les facteurs premiers mec un exposant au moins égal.

10. D'une façon analogue, on voit qu'un nombre est une puissance mième parfaite lorsque les exposants de ses facteurs premiers sont tous divisibles />>//■ m.

il. Quand deux nombres ne sonl pas premiers entre eus ilont forcément des facteurs premiers communs. De cette remarque on déduil facilement 1rs théorèmes suivants :

Quand un nombre est premier avec plusieurs autres, il est premier avec leur produit.

'^1. Quand deux nombres sont-premiers entre eux, deux puissances quelconques de ces nombres sont premières entre elles.

Y.\. Recherche <lu plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. — Plusieurs nombres étant décomposés en facteurs premiers, puni qu'un nombre les divise tous, il faut et il suffit que ce nombre ne contienne que des facteurs premiers communs à ces nombres, chacun de ces facteurs avec un exposant au plus égal à celui qu il ;i dans le nombre où il ;i le pins petit.

Donc, pOur former le plus grand commun diviseur des nombres proposés, il faut faire un produil avec tous les facteurs premiers communs aux nombres, chacun d'eux étant pris avec un exposant égal à celui qu'il ;> dans le nombre où il a l<- plus petit.

Exemple : Le pins grand commun diviseur de

7 Ml ■■'. .

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