NOMBRES PREMIERS

Tout nombre qui n'est pas premier est dit composé. L'importance des nombres premiers résulte du théorème suivant :

34. Tout nombre <pii n'est pas premier est décomposable en un produit de facteurs premiers, et cela d une seule façon.

Soit en effet un nombre N. Si N n'est pas premier il admet un

diviseur n, et

Si n et q sont premiers, N est décomposé en facteurs premiers: sinon, et si n par exemple n'est pas premier, il se décompose luimême en un produit niql, et

et ainsi de suite. 11 est évident que celte décomposition ne peut se prolonger indéfiniment. Donc, à un certain moment, N sera décomposé en facteurs premiers. Ces facteurs ne sont pas d'ailleurs forcément différents entre eux. Supposons qu'il y en ait a égaux à a, jil égaux à h, Y égaux à c, . . . . A égaux à /. On aura

N = a*6PcY... P-.

Reste à montrer que cette décomposition n'est possible que d'une seule façon.

Soit en effet, d'une part,

N = abc . . . qr

(les facteurs premiers «, 6, c, ••.,</, r étant différents ou non) et,

d'autre part,

vant : Un nombre n'est décomposable que d'une seule façon en facteurs /'rentiers.

\ notre point de vue, non* distinguons trois espèces de nombres: les nombres composés, les nomltres premiers el les nombres unîtes, la dernière espèce ne contenant qu'un échantillon, le nombre i.

Dans la théorie des nombres entiers négatifs, la dernière espèce contient deù\

é( h. millions.

Dans celle des nombres entiers algébriques, la dernière espèce peul contenir plus de deux, el même une infinité d'échantillons.

l6 CBAP. I. — RAPPBL DES Mil'. un- il- PLUS ÉLÉMENTAIRES.

de sorte que

Le nombre premier a, divisant le premier membre de cette égalité, divise le second. Or, si a n'esl pas égal à a', il esl évidemmenl premier avec lui ( puisque a el a sonl premiers absolus . a étant premier avec a', el divisant le produil de a! par l> <■'...</ 1' . divise b c' . . . </' ' ■

De même, si '/ n'esl | >;i s égal à /> . il doit diviser le produil <■'... i/' /'. En poursuivant ce raisonnement, on voil que, si a n esl

égal à .m m ii des facteurs a\b\c' q', il doit diviser r', ce qui

n'est possible que si a /•'. ^.insi tou| facteur de I un des membres de l'égalité (8) se trouve dans l'autre. Les deux membres sont donc composés identiquemeni des mêmes facteurs.

lio. \ ii l'importance uYs nombres premiers, il sérail utile d'en avoii une table. <>u doit donc d'abord se demander s'il existe un nombre limité ou non de nombres premiers. La réponse esl que :

La suite des nombres premiers est illimitée, autrement dit : Étant donné un nombre premier p, il en existe un plus grand. En effet, faisons le produil de tons les nombres premiers de i à p et ajoutons-lui t. Nous obtenons un nombre \.

Si \ esl premier, connue il est évidemment plus grand que/7, le i héorème esl \ érifié.

Si A a'esl pas premier, il a des diviseurs premiers. < h- ces diviseurs premiers sonl plus grands que />. En effet, un nombre premier plus petit que /?, divisant le produil 2 .3. 0.7 •••/>» ne peul dix iser ce produil augmenté de 1 .

Le théorème esl doue démontré.

36. Crible d'Eratosthène. Il résulte de là qu'on peul seulement construire une table des nombres premiers depuis 1 jusqu'à nue certaine limite. < >n \ arrive par le procédé dit crible d'Eratosthène.

On écrit tous les nombres, depuis 1 jusqu'à la limite en question, puis ou barre successivement tous les nombres qui ne sonl pas premiers.