DÉCOMPOSITION EX FACTEURS PREMIERS. IQ

Aï. Recherche du plus petit commun multiple de plusieurs nombres. — Plusieurs nombres ont des multiples communs, en particulier leur produit cl les multiples de ce produit; mais ils peuvent en avoir d'autres; en tout cas, ils en ont un plus petit que tous les autres et qu'on appelle leur plus petit petit commun multiple.

Plusieurs nombres étant décomposés en facteurs premiers, pour qu'un nombre soit un multiple commun de ceux-là, il faut et il suffit que ce nombre contienne tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres, chacun de ces facteurs avec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans le nombre où il a le plus grand. Donc pour former le plus petit commun multiple des nombres proposés, il faut faire un produit avec tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres, chacun d'eux étant pris avec un exposant égal à celui qu'il a dans le nombre où il aie plus grand.

Exemple : Le plus petit commun multiple des nombres

720 = 2i.32.5, 1 320 = a3.3 .5.ii, 8800 = 25.52.I 1

est

Du procédé précédent on déduit facilement les conséquences suivantes :

'io. Les multiples communs à plusieurs nombres sont les multiples de leur plus petit commun multiple.

Lorsqu'on multiplie plusieurs nombres par un même nombre, le ur plus petit connu 11 n multiple est multiplié parce même nombre.

Inversement, si l'on divise plusieurs nombres par un diviseur commun, leur plus petit commun multiple est divisé par ce diviseur .

Lorsque plusieurs nombres sont premiers entre eux deux à deux, bur plus petit commun multiple est égal à leur produit .

Le plus petit commun multiple de deux nombres, multiplie par leur plus grand commun diviseur, donne un produit égal au produit de ces deux nombres.

CBAP. I. — BAPPBL DBS THBOBIBS LBS PLUS i II >l I N rAIBBS.

Cette dernière propriété permet de calculer le plus petil commun multiple <lr deux nombres, -;m> les décomposer en facteurs premiers. Cette remarque esl importante dans le cas où !<•nombres proposés sont <!<• grands nombres, puisqu'il se peul alors que La recherche de leurs facteurs premiers ><>it impraticable.

Quant à la première propriété, elle permet de calculer le plus petit commun multiple de m nombres, de proche en proche, comme on l'a expliqué au n° 31, pour le plus grand commun diviseur.

§ IV. — Nombres fractionnaires. Opérations sur ces nombres.

iC». L'idée de fraction s'esl introduite dans la science par la mesure des grandeurs. Mais voulant rester dans l'analyse pure, et en particulier dans la théorie des nombres, nous définirons la

fraction de la façon suivante :

On appelle fraction l'ensemble de deux nombres ailiers, l'un ///>/><■/('■ numérateur, et l'autre dénominateur.

Le numérati ur et le dénominateur d'une fraction s'appellent ses termes.

Une fraction s'écrit en plaçant le numérateur au-dessus du dénominateur et les séparant par un irait.

47. De\>\ fractions - et -. sont dites égales lorsque b d ° '

ml lu-.

Si ad ■//<■, la première fraction est dite plus grande que la seconde.

Si ad<iOc, la première fraction esl dite plus petite que la seconde.

De cette définition on déduit immédiatement que :

/•.'// multipliant ou divisant les deux termes d' une fraction pur un même nombre, on obtient une fraction égale.

En particulier, si l'on divise 'r> ^ew\ termes il une fraction par leur plus grand commun diviseur, on obtient nue fraction égale et dont les deux termes sont premiers entre eux. I ne telle frac-