Ce Icminc démontré, soil ( . ) une substitution. Cher

chons si, parmi les substitutions congrues à celle-ci, il en existe une modulaire; c'est-à-dire, cherchons s'il existe des nombres r. ) . s, /, tels (]iie

(a ./■//)('> tn) — ( p -r- y n)( •; -r- - n ) = i, ou

(ii !./•/ vz)n- ;i/'1 j--; -- /a — z$)n -t- ao — fi-; — [ = o.

On voil que ce n'est possible que si

ao — Py ' ( mod/i |.

Réciproquement, si cette condition est remplie, je dis qu'on peul déterminer des nombres entiers ce, y, s, £ satisfaisant à l'équation | i >.

En effet, posons

«o — PY = I + ^i.

L'équation (i) devient, après qu'on l'a divisée par /?,

ri yz)n -f- (a?3 — j'y c 3 — / a ) ~- /. = o, ou

(3) ./•(/« — o r — y(zn y ' - *a — s? -t-£ = o.

( h la congruence (2) montre que le plus grand commun diviseur de y el S esl premier avec /*. On peut donc d'abord déterminer s el / de façon que les nombres ^ n -\- y == Z et /« + o = T soient premiers entre eux. Mors l'équation (3) devient

Tx — Zy + M =0,

T et Z étant premiers entre eux, on sait (n° 111) qu'on peul trouver deux nombres .r, y satisfaisant à cette équation.

Conséquence. Le nombre des substitutions modulaires incongrues deux à deux mod/2 est égal au nombre des systèmes incongrus de quatre nombres satisfaisant à I" condition 1 - .