II- - I

300. Théorème. — Si deux substitutions \ et B sont congrues (mod n), les produits à droite ou à gauche de ces substitutions par une menu- substitution C sont aussi congrus mod n).

Soit

On

ac aX -f- pv B|* -4- Pp \ BC /a' X - P' v % [.t - p' p

yX H- cv v;i - 8p •;'/. -+- 8'v -;','

Par hypothèse,

c'est-à-dire

A = B (mod n i,

- ( mod // i.

Il eu résulte évidemment

a>. - pv x'X-f- p'v

a a - pv = a A — [î'v t afi-f-pp = o>-t-P'p f

(7) ,.',,>,'• imodn

Y A -+- OV s] A -+- o v

c'est-à-di re

AC ■ BC i mod //

On voit de même que

CA CB (mod/j

2l6 CRAP. VI. LBS PORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

Réciproquement, si

AC = BC i mod/i .

et si la substitution C a un déterminant premier avec n. il en

résulte

\ B mod n .

C'esl ce <|ni arrive, rn particulier, lorsque la substitution C est modulaire.

En effet, par hypothèse, les conditions (7) sont remplies. Multiplions la première par p, la seconde par v, et ajoutons,

il \ienl

xi Xp — [iv i a' Xp - [xv . 1 mod // .

ou, puisque Xp y.v est premier avec //.

a a' 1 mod H .

On voit, d'une façon analogue, (pie les autres conditions sont remplies.

On voit de même que, -1

CA = CI> 1 mod a .

et que le déterminant de G soit premier avec /?, il en résulte

A I! mod h 1,

iiOl. Périodicité par rapport à un module n des puissances d'une substitution modulaire. — Soit A une substitution modulaire. Considérons ses puissances successives : soient d'abord ses puissances posil ives

Toutes ces puissances sont elles-mêmes des substitutions modulaires (n° 295 .

Or le nombre des substitutions modulaires incongrues (mod /n ('•tant limité, il v a forcément, dans la suite (8), des termes qui se reproduisent .

Soil

\"' A'" *-P ' niod/i 1.

Ceci peut s'écrire