C0NT.1U KNCF.S DE SUBSTITUTIONS. >. I

On en déduit (n° 300 )

A" A'' i iikmI // -

( >n conclut de laque la première substitution qui se reproduil I oiod n) est A0. Et si l'on appelle A^ la première substitution qui lui est congrue, les termes de la suite (8) forment une suite périodique, le nombre des termes de la période étant p.

Ce résultat s'étend sans peine à la série indéfinie dans les deux sens formée par les puissances négatives et positives de la substii ution A.

302. Nous n'aurons pas besoin de déterminer plus précisément le nombre p ('); bornons-nous à démontrer que/? est un diviseur de «o2(/î).

En effet, considérons la suite des p puissances de A,

Si ces p substitutions forment toutes les substitutions modulaires incongrues deux à deux (mod/i), on a

et le théorème est démontré.

Sinon, soit B une substitution non contenue dans la suite (g); considérons la suite

mi BA», BA'. ..., BAp-«.

Deux de ces substitutions sont incongrues (mod/i), puisque ce sont les produits à gauche par une même substitution \) de deux substitutions incongrues.

De plus, une quelconque des substilution> i to est incongrue à une quelconque des substitutions (9), car si l'on avail