Formes équivalentes. — Soit une forme
ax- -+- 2 b xy — cy-.
Faisons la substitution
x = aa?'-4- $y\ y =Ya?'-+-8j ■
nous obtenons une nouvelle forme
Nous avons vu (n° 279) <jue la première forme contient la
seconde, parce que, à tout système de valeurs entières de x
et y1 correspond un système de valeurs entières de x <•/ i . Mais remarquons maintenant qu'on a inversement
8 se — jr <xy — y T
Si donc A i, il s'ensuivra que, à tout système de valeurs
FORMES ÉQUIVALENTES. CLASSES DE FORMES. îl<i
entières de x et y correspondra aussi un système de valeurs entières de x1 et y'.
I ). >nc la seconde forme contient aussi la première. On dit alors que les deux formes sonl équivalentes. Ainsi deux formes équivalentes sonl deux formes telles que l'on passe de l'une à l'autre, /><//■ une substitution linéaire de déterminant égal à zb i . Chacune de ces formes contient l'autre. Tout nombre représentable par l'une des deux formes l'est aussi par l'autre. Les deux formes représentent donc les mêmes nombres.
Exemple. - Soit la forme
x* — \ry — %y*-.
Faisons la substitution
dont le déterminant est égal à i , et nous obtenons la forme transformée
équivalente à la première.
304. Etant donnée une forme, on obtient toutes les formes équivalentes, en lui appliquant toutes les substitutions de déter minant égal à dr. î .
Toutes ces tonnes équivalentes ont même discriminant, à cause de la relation du n°278 que donne ici D ; D\ Mais la réciproque n'esl pas vraie; deux formes de même discriminant ne sont pas ion jouis équivalentes.
Exemple. Les formes
' ■>.' '• "> ' J ■ îy-
ont même discriminant \->: cependant elles ne sont pas équivale nies.
En effet, la première ne peut représenter qu'un nombre o ou i inod | . tandis que la seconde peut représenter un nombre 3 mod j .
30o. Classes de formes. Mai- nous pouvons nous borner à la considération des formes qui se déduisent d'une forme donnée par toutes les substitutions de déterminant égal .1 1 ou substi- 1 niions modulaires.
En effet, soil A nue substitution de déterminant égal à — 1.
Considérons la snli-iii ution
Le déterminant de celte substitution \ est aussi égal à ;. Ni donc nous posons
\ r-\ une substil ution modulaire.
Or
houe toute substitution de déterminant égal à — 1 est ■ gale à une substitution modulaire multipliée par N .
Nous nous attacherons donc spécialement à L'équivalence des formes qui se déduisent l'une de l'autre par une substitution modulaire.
()n dit que ces formes appartiennent à la même classe que la première.
Ainsi, on appelle classe de formes imites les formes qui se déduisent de l'une d'elles par les substitutions du groupe modulaire.
Les formes équivalentes à une forme donnée se composent :
1" Des tonnes appartenant à la même classe.
y0 De celles qui se déduisent des précédentes par la substitution N, c'est-à-dire en changeant le signe du terme en xy.
\ei uellement les problèmes qui se posent sont les suivants :
I. Etant données deux formes de même discriminant, voir si elles appartiennent à la même classe ou non.
II. Lorsque deux formes appartiennent à lu même élusse, trouver la ou les substitutions modulaires qui permettent de
passer de la première il la seconde.
