Nous allons maintenant démontrer le théorème suivanl
Théorème. — On peut passer d'une forme à discriminant positif quelconque [a,b,c) à une forme réduite de même classe, en lui appliquant un certain nombre de fois les substitutions S et T.
(les deus substitutions étant modulaires, leur application réitérée donne toujours naissance à des formes de même classe que la forme prim itive.
Il faut montrer que l'on peut transformer la forme [a, h, c en une forme satisfaisant à toutes lis conditions (l3), (i /j\ (l5 .
Montrons d'abord qu on peut transformer la forme i '/, />. c en une forme satisfaisant seulement aux conditions (i 3).
Dans l'ordre de grandeur des coefficients de la forme, six cas sont possibles :
FORMES V DISCRIMINANT POSITIF.
Dans le premier cas. c a ih. la forme satisfait aux conditions (i3).
Mans le second cas, a~ c i \b , appliquons à la forme la substitution T. La forme devient
• C. I). Il .
< lette oouvelle forme satisfait alors aux conditions ( i3).
Dans le troisième cas, c 2] l> a, appliquons à la forme donnée m fois la transformation S, la forme (a, />, c devient
a, a/w -+- b, am-— ?.bm -+- c).
Or on peut choisir m de façon que
il suffît de diviser b par a, de façon à obtenir le reste minimum, el d<' prendre pour m le quotient changé de signe); m étant ainsi choisi, posons
am- — 2 brn -+- c. = C|.
La forme 1 a, 6, c devient
( a, &i, ci), el l'on a
Si l'on a de plus
Cl^2|6i |,
la forme (a, &( , c, ) se trouve dans le premier ou le second cas el
le problème est résolu.
M ais, si Ton a
faisons sur la forme (a, bi}Ct) la transformation T, celle forme
dr\ ient
( Ci, — 6,, " -
l'uis, faisons/;/ fois la transformation S, ///' étant choisi de façon
que
La forme devient alors
1 Ci, 6j, "1 .
en posanl
el l'on .i
Si l'on .1 de plus
la forme ct1 b2, <> . se trouve dans le premier <>u le second cas, el
le problème esl résolu.
Mais -i l'on ii
faisons de nouveau sur la forme < (. /^. a( i la transformation ï,
celte forme de\ ient
i ai, — 62, Cj :
puis faisons la transformation S, m" fois, m" étant choisi de façon
que
2 ai m* 6j a%.
Nous obtiendrons une forme
(«1,63, c2); et ainsi de suite.
Je dis qu'en continuant ce procédé on arrivera forcément à une forme se trouvant dans le premier ou le second cas.
En ell'et, si cela n'a pas lieu pour la forme a, />t, ct), comme la
condition
est remplie, c'est (pie la condition
f'i 2 | bi | ne l'est pas. On a donc
a ■>. t>\ ! > Cj.
De même si la forme (ct, />2, «1) n'est pas dans le premier ou le second cas, c'est que l'on a
ct | >/>, ; > «,.
De même, si la forme <■/,. A... C2 n'est pas dans le premier ou le second cas, c'esl que L'on a
el ain-i de suite.
On a donc
FORMES v DISCRIMINANT POSITIF. 120
Les nombres <i, r,, at,... sont tous positifs. Donc cette suiLe d'inégalités ne peut se prolonger indéfiniment. Donc on arrive forcément à une forme appartenanl au premier ou au second cas.
Dans le quatrième cas, a ■>. h\1^c, faisons la transformation T et nous sommes ramenés au troisième cas.
Dans le cinquième et dan* le sixième cas, où l'on a
\ib\ a,
faisons m fois la transformation S, /// étant choisi de façon que
■>. | am -+- b | .a,
et nous sommes ramenés au premier, second ou quatrième cas. Le problème de trouver une forme de même classe que la forme proposée et satisfaisant aux conditions (i3) est donc résolu dans tous les cas.
310. Reste à montrer qu'on peut satisfaire aussi aux conditions
i i el i 5 i. Supposons d'abord que la forme ne satisfasse pas à la
condition (i \) tout en satisfaisant aux conditions (i3). Soit la
forme
— 2BJ"2 2 Bxy — Cj2 (G^ | B |).
Appliquons-lui la transformation S, cette forme devient
— 2 Bx2 — iBxy -+- Cy'2.
Cette nouvelle forme satisfait alors à la condition (i {), tout en continuant à satisfaire aux conditions i i 3 .
Supposons maintenant que la forme ne satisfasse pas à la condition (i5) tout en satisfaisant aux conditions (i3) et (î \). Soit la
forme
\<-- >!!./.• \yî (B>o,A>îB).
appliquons-lui la transformation T, elle devient \ / : s Bxy V1 "'•
Cette nouvelle forme satisfait à la condition i io i, tout en continuant à satisfaire aux conditions (i3) el i i .
Exemple. - Soil à réduire la forme
20 \.i ■- 284 xy ion-.
•!<> CBAP. VI. LES P0RMB8 QUADRATIQUES BINAIRES.
Nous sommes dans le sixième ca>. appliquons la substitution S-1, nous obtenons
Mous sommes dans le quatrième cas. Donc nous appliquons La substitution T qui donne
Mous sommes maintenant dans le troisième cas. La substitution
S ; tlonne
:>. I ./- %xy -+- 2\y-.
Cette forme satisfait au\ conditions (i>), mais non à la condition (i5). Appliquons-lui encore une fois la transformation T. La
forme devient
2 1 a?2 ■+- 2 xy -+- 21 y'1.
Llle est réduite.
31i. ipplication au premier problème du n° 30o.
Etant don nrcs deux far m es de même discriminant positif, voir si ces foinies appartiennent à lu même classe ou non.
Il suffit de remplacer les deux formes données par les formes réduites, respectivement de même classe qu'elles, et de voir si ces deux formes réduites sont de même classe. Or on a le théorème suivant :
Théorème. Deux formes réduites de discriminant positif , ne peuvent être de même classe que si elles sont identiques.
312. Pour démontrer ce théorème démontrons d'abord deux inégalités auxquelles satisfont les coefficients d'une forme réduite. Soit (a, b, c) une forme réduite
I )c l'inégalité
on tire (16)
I ).• l'inégalité
a|ft| a,
on tire, a étant positif (n" 306),
( i; ) <t- tic.
d ou (I où
FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. ! >~
Com parant les inégalités I 16) et (17), on obtient
4 h- ac,
Ensuite on a d'où, a fortiori
el par conséquent (19)
iac = 31) -+ - 362 i l>.
313. Soient maintenant («, />, c), (#', 6', c') deux formes de
même classe, el ( ^ ) la substitution par laquelle on passe de la
première à la seconde. Nous voulons démontrer que, ou bien ces deux formes de même classe ne sont pas huiles les deux réduites, ou bien elles sont identiques. On peut évidemment supposer a!: a.
On a
[ — ao — Py> . > 1 a' = a«2 -4- 2 b ay -i- c y2,
... h' = ay.'p ■+■ b (a8 -+- [3y ) -4- c yo.
L'équation (21) donne
aa'= (ax -+■ b y i'2 -+- D y- :
or
1 )oiK
aa" ' D, >
mu . d après I éga lité l *3)
(aa-H&y)2 "ï' |D,
Il résulte de là <|n<'
Donc y i|in est un nombre entier ne peul être égal qu à o, ou
