NOMBRES FRACTIONNAIRES

tion est d'ailleurs irréductible ; c'est-à-dire que toute fraction égale a ses deux termes respectivement supérieurs. En eflel,

soit j celle fraction et —. une fraction égale, de sorte que (9) ad = bc,

«, divisant bc et étant premier avec b, divise c. Donc

c = at,

t étant un nombre entier; et en portant cette valeur de c dans

l'égalité (9)

d= ht.

Donc c et d sont respectivement plus grands que a et b.

48. Nombres entiers considérés comme cas particulier des fractions. — Par définition, une fraction dont le dénominateur est égal à i est égale à son numérateur

On vérifie facilement que cette définition n'est contradictoire avec rien de ce qui précède.

Il en résulte que, lorsque le numérateur cl une fraction est divisible par son dénominateur, la fraction est égale au quotient.

Ceci justifie l'emploi de la notation j pour désigner en même

temps la fraction j et le quotient de a par b, quand la division se fait exactement.

49. Réduction au même dénominateur. — Etant données des fractions, on demande de trouver des fractions respectivement égales et ayant même dénominateur. 11 suffit de choisir un multiple commun des dénominateurs, puis de multiplier les deux termes de chaque fraction par le quotient de ce multiple commun par son dénominateur.

Si l'on veut réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, il faut d'ahord les réduire à leur |>lus simple expression; puis prendre comme dénominateur commun le plus petit commun multiple des dénominateurs.

22 ( II.V1'. I. — RAPPEL DBS llliMitn- LES PLUS I II Ml M UltF.S.

50. Opérations sur les fractions. Addition . — Etant doDnées des fractions, on peu! toujours supposer qu'elles ont été préala blemenl réduites au même dénominateur; leur somme est, par définition, une fraction ayant ///>'//"■ dénominateur qu'elles, et un numérateur égal à la somme de leurs numérateurs.

11 est facile de \ <>ir :

i° Que cette définition comprend celle de la somme des nombres entiers comme cas particulier;

2° Que la somme de plusieurs fractions oe dépend pas de Tordre dans lequel on les ajoute; d'où l'on déduit les mêmes conséquences que pour les nombres entiers.

51. Soustraction. — La différence de deux fraction- est la fraction qui, ajoutée à la seconde, reproduit la premier.-.

Les deux fraction- élanl préalablement réduite- nu même dénominateur, leur différence est évidemment une troisième fraction ayant même dénominateur, et un numérateur égal à la différence des numérateurs des deux premières.

Celte différence n'existe que si la première fraction n'est pas inférieure à la seconde.

Quand deux fractions sont égales, leur différence est nulle.

52. Multiplication. — Le produit de . par est, par définition, égal à =• Le produit deplusde deux fractions, ; > • . —

D cd r ' ' 0 a j

est, par dé-finition, égal à -, * * ' •

Il est indépendant de Tordre dv> facteurs. On en déduit les mêmes conséquences que pour les nombres entiers. Le théorème du n" 15 s'applique aussi aux nombres fractionnaires.

Les règle- de calcul relatives aux polynômes s'appliquent doin aussi aux nombres fractionnaires.