II. y=±i. — Les équations •■ . ti), 12) deviennent

( ■> 1 1 a = a y.- ± •>. bx ■+■ c,

b' — ax^ -+- 6(a8 p i b co.

L'équation I so s écrit

Donc

I r autre part.

I )onc

"-/-' \îb<x\

I >ooc

( 3o ) a%-±-2by o.

< lomparant les inégalités (29) et (>o) on en déduit «ï2±i6a= o,

et, par suite, l'égalité (27) donne

el les inégalités! <s 1 montrent alors que

Ensuite l'égalité 1 26) peut s'écrire en tenant compte de l'égalité) • ;

b b - a x'.i - ». b at8 - co,

ou en remplaçant c par a el 26a par :.: '/ x-

b b aa(3 <za»8 al = a(afl =p a*o ± 8) c'est-à-dire que 6 :- 6' est divisible par a .

l3o CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

( )n voit, coi <• plus haut, qu'il faul pour cela ou bien que

V b ou bien que

Dans le cas où rumine déjà

cl (|iie

on en déduit

Mais l.i condition (3i) donne de plus

Les deux formes sonl donc (<7, b, a), (a, — b, a); une seule peut être réduite d'après la condition (i 5 Dans le cas où

b'= &=±ia.

on trouve encore

Les deux formes sonl donc identiques.

314. Le premier problème du u° 305 esl maintenant résolu poulies formes à discriminanl positif. On voit que pour que deux formes de même discriminant positif appartiennent à la même classe, il faut et il su (/il que leurs formes réduites soient identiques.

Exemple. Les deux formes du n" 304. — Nous avons vu par un procédé détourné qu'elles ne sonl pas équivalentes. Nous voyons maintenant que cela résulte aussi de ce qu'elles sont réduites, et ne sont pas identiques.

315. Autre exemple. Soient les deux formes de même discriminant égal à 6 :

- 1 84 xy — 2Î '>-•

FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. 23 1

\ppliquant le procédé connu, on trouve que la première forme se réduit par l'application successive des substitutions

et devient

ix- -t- 3jk2.

Pour la seconde forme, elle se réduit par l'application successive des substitutions

et devient aussi

•xx'1-- 3 y2.

Donc les deux formes proposées appartiennent à la même classe.

316. Résolution du second problème du n" 305 pour les formes à discriminant positif.

hfux formes à discriminant positif, ayant été reconnues appartenir à la même classe, trouver les substitutions modulaires qui permettent de passer de la première et la seconde.

La méthode qu'on vient d'employer pour reconnaître que deux formes appartiennent à la même classe permet en même temps de trouver une substitution modulaire qui transforme l'une dans l'autre.

En effet, soient (a, b, c), (a', b', c') ces deux formes et (A,B, C) l,i forme réduite qui est de même classe que chacune d'elles.

< )n passe de (<7, &, c) à (A, B, C) par une suite de substitutions S el T, qu'on peut remplacer par une seule substitution G égale à leur produit. De même l'on passe de (a, b, c) à (A, B, C) par une substitution H. Dans ces conditions, il est bien évident que l'on passe de la forme («, b, c) à la forme (a', b', c') par la substitution Gll-1, égale au produit de la substitution G par l'inverse de la substitution 11. On obtient ainsi une substitution K répondant à la question et qui est évidemment modulaire. 11 faut maintenant avoir toutes les substitutions modulaires répondant à la question.

Suit L une substitution modulaire transformant (a, b, c) en elle-même. Il est bien évident que la substitution M: LK transforme ( a . A. c) en («', b', c').

Réciproquement, soit M une substitution qui transforme

' '< • CHAI'. VI. — LES POBMBfi QUADRATIQUES BINAIRES.

in.h. r , en <>/'./>'.<■' . Puisque la substitution K transforme (a, 6, c) en ■ >'. !>'.<■'. la substitution inverse K ' transforme i,/'.//.r') en (a,6,'c). Donc la substitution "MK ' transforme (<z, 6, c) en elle-même. Suit L cette substitution. ( )n a

MK i I..

d'où, en multiplianl les deux membres à droite par K.

il . de j >l n-i. L e>t modulaire.

En résumé, on voit que pour trouver toutes les substitutions modulaires qui transforment (a, l>. c) en "'. !>' . c'), il faut multiplier la substitution K. à gauche, /><i>- toutes les substitutions modulaires qui laissent invariable la substitution (a, //. c . De sorte que le problème proposé est ramené au suivant :

Trouver toutes les substitutions modulaires qui laissent invariable une forme (a, A, c).

317. Soii (' !! ) ""c telle substitution, x, (3, y, 8 sont déterminés par les conditions

i ; - . »8 — [fy i .

ai2- 2 6 a-; c;- a, (34) aap &(a8 4- fty) rVr" A-

(La dernière équation n'y -2Ô(38-t- c82 c est rendue inutile par la condition ot8 • |3y i. car celle condition suffit pour établir que la forme {a, 6, c) et sa transformée ont même discriminant. Si, de plus, le coefficient de x2 et celui de xy som le> mêmes dans les deux formes, il en sera de même du coefficient

de ,"-.)

Si dans l'équation (34) on remplace xo par i - (3y, elle s'écril

( )"> | Cltfj - "i-b^'i e-;o - o.

Multiplions l'équation i 35 i par tx, l'équation i 33) par — [3 el ajoutons, il vient

FORMES A DISCRIMINANT POSITIF.

ou, en tenant compte <le L'équation (3a),

(36 cy-t-ap = o.

Ensuite, multiplions l'équation | 33) par o. L'équation (35) par — v et ajoutons, il vienl de même, en tenant compte de l'équation |

(37) "( « — o ) -4- xb'( = o.

Les équations (36) et (3;) peuvent s'écrire

JL = I = 'X~?J .

— c a — ib

Soit a \ediviseur de la forme, c'est-à-dire le plus grand commun diviseur de a, ib, c, les équations précédentes peuvent encore

- écrire

6 y g — S c a -il ') '

d'où, en posant ces rapports égaux à u.

l'our que (3, Y, a — o soient entiers, il faut que u soit entier. En effet, les nombres -i —, — n'ayant pas de facteur commun.

le dénominateur de //, supposé réduit à sa plus simple expression,

, • • - i i- • — c a — ■> li ... . .

ne i » < * 1 1 1 iIi\i-it .i la !<n> —■» —» ■ nue s'il est cirai a i.

Remplaçons [3 el y par leurs valeurs dans L'équation (32), il

\ ienl

— - — ii- =

234 ill VI'. VI. — LES FORMES QIADRAT1QIES BINAIRES.

ou, d'après l'équation (4o),

h' u' ne .