CM

. ',ii , 8 =

/ — bu

Réciproquement, si l'on détermine deux nombres entiers satisfaisant à V équation I \-> .), puis qu'on prenne pour y., [j. y, 8 /es valeurs données par les foi-mules (43), (44)» (45), ( i() I :

i" ces valeurs sont entières; 2° la substitution ( ) laisse

\Y 8 invariable la forme (a, b, c).

En elTct :

i° a- divisant a cl c, [ii et v donnés par les formules (44) ct ( î ' ' sont des nombres entiers. De plus, c2 dix isant ac et 4^2 divise î I >. l'équation (42) montre, par suite, que <r2 divise ^i-. Donc sdivise 2 /. Il divise d'ailleurs ib. Ceci montre que 2a et 28 donnés par les formules (43) et (46) sont des nombres entiers. D'ailleurs

leur somme ' étant un nombre pair, ces deux nombres sont de

même parité.

FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. ! !5

lui fin leur produit

,( t* 6*U») i (<T! — nn/'- i

étant pair, ces deux nombres sont pairs.

Les nombres 2a et 20 étant pairs, les nombres a et 0 sont enliers.

- ' Pour vérifier que la substitution I ) laisse la forme

(rt, 6, c) invariable, il suffit d'effectuer cette substitution, en remplaçant a, fâ, y, 8 par leurs valeurs, et de tenir compte de l'équation (4^).

318. Équation de Pcll. — Tout revient à trouver les valeurs entières de t et de u satisfaisant à l'équation (42)> cette équation se nomme équation de Pcll. Or, clans le cas qui nous occupe, D>o, la résolution de l'équation de Pell est très simple. Il suffit de donner à u les valeurs o, ±1, ±2, ... croissantes en valeur .1 bsolue, jusqu'à ce que la valeur correspondante de (2

ti = ffs rj W2

devienne négative et, par suite, inadmissible. A chaque valeur de //, correspondra o ou 2 valeurs de t, suivant que 1- — Dosera ou non carré parfait.

Examinons les choses d'un peu plus près :

i° D'abord on peut toujours prendre pour u la valeur o, il faut prendre alors pour / l'une des valeurs ±<r. Ces valeurs de u et t. transportées dans les formules (43), (44)? (45), (4*>)< donnent, pour a. [j, ■'• S, les valeurs (±1, 0,0, ±1), c'est-à-dire qu'on ob-

tient ainsi la substitution identique et la substitution ( )

évidentes a priori. La seconde substitution est celle que nous avons désignée par I (n° 295).

a0 Essayons maintenant pour u les valeurs ±1, il en résulte

Faisons les remarques suivantes :

i36 c M\l'. VI. LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.