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qui donnent quatre substitutions :

\ppelons A la première de ces substitutions, «m voit facilement que les trois autres sont \ '. VI, A-1 1. Avec la substitution iden-

FORMES A DISCRIMINANT POSITIF. '.'■'

lique et la substitution I, cela fait en tout six substitutions modulaires qui transforment la forme en elle-même.

I >an> le cas où 4D = 4 s-2 5 on obtient pour / la valeur / = oel l'on a deux systèmes de solutions :

qui donnent deux substitutions /— b —

L'une étant \, l'autre est Al. Avec la substitution identique cl la substitution I, cela fait en tout quatre substitutions qui transforment la forme en elle-même.

3° Enfin on ne peut donner à // de valeurs supérieures à i; car on aurait alors

Donc

Or t2 — 4D est négatif, à cause de l'inégalité [8 . La valeur de t-, étant négative, ne peut convenir.

En résumé, on a trouvé dans tous les cas les substitutions modulaires qui laissent une forme invariable.

En général il n'y en a que deux.

Lorsque 4D = 3s--, il y en a six.

Lorsque 4D = 4^", il J en a quatre.

319. Remarque. — Dans tous les cas, il est évident, a priori, que les substitutions modulaires qui laissent une forme invariable formenl un groupe. C'est ce que l'on vérifie facilement.