CT = I, C

D'ailleurs a doit être au moins égal à 2; donc

La condition 26 ;— — a montre que 6 ne peut cire égal à — 1 ; donc 6 = 1. En résumé, il y a deux formes de discriminant -, à

savoir

7^2 et aar*-+- aay -+- i,/2.

E. rcmplc I .

I ><i n s ce cas

h donc

Si b = « » ,

donc

Si A = ± i,

D'ailleurs a doil être au moins égal à > : dom

</ >. c = 6, ou

IMais si a = 2, A ne peul èlre égal à — i . En résumé il y ;i quatre formes réduites de discriminant i i .

x--\-i\y-, i.T--r- •'/)• (>/2, 3 x% ■+- i xy ■+■ jr'. i / - — >..r^- — j r-.

Exemple VI :

Dans ce cas

donc

Si A = o

donc

Si &=±i.

<ZC = | - :

a I . rl~.

D'ailleurs a doil être au moins égal à 2. On peut donc prendre

Si & = ± 2

rtC = 21.

Mais a devant être égal au moins à j, le plu- petit diviseur de 'i supérieur à 4 esl 7; mais si l'on prenait a = 7 il faudrait prendre c =3, ce qui ne doil pas être; donc on n'obtient pas ainsi de nouvelle forme réduite.

FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 2^3

En résumé, il \ a cinq formes réduites de déterminant 17.

x'-->r 17 y2, '.)j2±2a;/H-9j'2. 3a?2± ixy •+■ 6^2.

§ V. — Résolution des problèmes du n" 305 pour les formes à discriminant négatif. Équation de Pell pour un discriminant négatif.

324. Soil 1 a\ h, c) une forme à discriminant négalif. Nous supposons donc D = ac — b- •< o. Il en résulte que L'équation

.1 deux racines réelles

ou

(i en posant

— D = A, A esl alor> positif.

Ces racines sont d'ailleurs incommensurables, puisque nous supposons toujours que — D n'est pas carré parfait.

Ce sont des nombres algébriques du second degré. Nous les appellerons racines de la forme.

Nous distinguerons la racine qui correspond au signe -h du radical, que nous appellerons première racine et désignerons par iù{ , de l'autre que nous appellerons seconde racine et désignerons par w2.

Si >/ > 0 la première racine est la plus grande. Si a << 0 c'esl le ■ ont raire.

325. Remarquons que la connaissance d'une forme entraîne celle d»1 son discriminant el de sa première racine.

Réciproquement, si Von connaît le discriminant et lu première racine d'une /'<>////<■. celle forme est déterminée.

En effet, si l'on connaît la première racine, on connaît la seconde,

- I ) CHAP. VI. — LÉS POEMES QCADBATIQUES hlNURES.

qui esl le nombre conjugué. On a donc

A- — ac — A.

( >u en tire

, <„, | Wj) y/Â

Wi — U>2

Donc la forme est déterminée.

326. Remarque. — Les deux formes | a, b,c i, l - a, — b. — c) onl mêmes racines, mais la première racine de l'une est la seconde racine de l'autre.

Réciproquement. — Si deux formes de même discriminant onl 1rs mêmes racines', mais de façon que la première racine de l'une soit la seconde racine de l'autre, ces deux formes ont leurs coefficients égaux et de signes contraires.

En effet, soient (". I>. c >. i a', //. c') ces deux formes. < >u a, par hypothèse,

(49) I'1 — ac =- b'- — a'c'=A,

L'égalité 5o i donne

(a ■+■ a') y/Â ba' — ab'.

\ A étanl incommensurable, ceci ne peul avoir lieu que si

a n' o, ba' — nb o,

d'où

FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. ! 1 5

et alors de L'égalité i [9) on tire

327. Substitutions linéaires sur une seule variable. - Effectuer sur une variable to une substitution linéaire ( „ ), c esl

remplacer to par

Quand on effectue sur deux vanablesar, y. la substitution! V )' la substitution ( ^ ) se trouve aussi effectuée sur leur rapport - •

Mais toutes les substitutions qu'on peut déduire de celle-là. en multipliant ou divisant les quatre coefficients par un même nombre, sont distinctes comme substitutions sur deux variables, et ne le sont pas comme substitutions sur une seule.

En particulier, si l'on ne s'occupe que des substitutions à coefficients entiers, de déterminant égal à ±1; ou, plus particulièrement encore, si Ton ne s'occupe que des substitutions modulaires, les

deux substitutions ( > )' ( >) distinctes comme substi-

1 niions sur deu\ variables, ne le sont pas comme substitutions sur une seule.

On peut donc distinguer le groupe des substitutions modulaires sur deux variables el le groupe des substitutions modulaires sur une variable.

M:2<X. Relation entre les racines de deux formes équivalentes. — Soit une forme 1 a, l>. c) dont les racines sont tol el w2. Supposons que par La substitution I . )i xS — ^y - ~ 1) cette forme

se transforme en une équivalente (a', U, c'). II est bien évident que, si l'on appelle w',,u>'2 les racines de laseconde forme, relies de la première sonl égales à

<\>- sorte que : /es substitutions qui transforment une /•unie en

une autre, transforment les racines >!<■ I" seconde en celles de

lu première.

Mais, je dis de plus que, si aS — V - i - autrement dit, si les

deux formes sont de même classe, les racines de même ni un ?<

correspondent. C'est le contraire si x8 — ^ = — i.

En eflfel . soit

ato', — 3

v"i ■+- '* on en lire

, 8wi — p

Supposons que a>t soil la première racine, remplaçons-la par sa valeur

— b -+- \J b- — tir

Il vient

, S(— li -+- \Jb- — ac) — pa

— y( — b-\-\Jbl — ac) xa

En faisant disparaître le radical du dénominateur, on trouve après simplifications

, — [«*3 ■+- b(oto -+- f}y) ■+" cï^ I + ' J'J — !JjT I si b-— ac

1 aofi-\- iboL'( -t- ry-

c'est-à-dire

, // -f- ( xo — Py)v^'2 — a'c'

Donc : si y.o — fiy = '

oj', est la première racine,

>i v.o — Py ==

(>i , esl lii seconde racnu

Réciproquement , si entre les racines de même nom, <•>, <>/, de deux formes, il existe une relation de la forme

W( — — j r I xo - 3Y - -+- 1 ),

OU si entre des racines de nom contraire, il existe une relation de même forme mais pour Laquelle a8 — PY= -ij s' de plus les

FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 3^7

deux formes ont même déterminant, on passe de la première

i • • /'* P\ forme à la seconde parla substitution ( ^ )•

En effet, supposons, pour fixer les idées, que la relation existe entre les racines de même nom, et que aS — (5f = i. En faisant

-m la forme (a, b,c) la substitution I , > on obtient une forme

avant même discriminant et même première racine que la forme (a', 0', c') \ elle lui est donc identique (n° 325).

329. Revenons maintenant aux trois problèmes du n" 305. Le premier de ces problèmes s'énonce ainsi :

Etant données deux formes , de même discriminant (négatif), roi/- si elles appartiennent à la même classe ou non?

Soient (a, 0, c) (a', b', c') ces deux formes. Pour qu'elles appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que leurs premières racines to, et (o't soient liées par une relation de la forme

Or, nous avons vu (n° 269) que pour cela, il faut que les périodes obtenues par la réduction de u>, et co', en fractions continues, soient composées des mêmes éléments, dans le même ordre, de façon que l'une des périodes se déduise de l'autre par une permutation circulaire des éléments.

Cette condition est-elle suffisante?

Soit A, B, . . . , L la période de <o, ,

tO| = pn, a,, . . . , r, A, B, . . ., L, A,B, . . .1.

La racine i<)\ axant une période composée des mêmes éléments dans le même ordre, écrivons

pn', //' />' , A,B L, A, B, . . ."I,

la période de <•/, pouvant d'ailleurs commence/ >■// réalité avant A.