Y=Q'S-QS', 8 = PS — Q'R

«8 — Py= (PS - QR 1 1 P S'- Q'R')

Si donc /. et /.' sont de même parité, k- /. ' est paii 1 : donc les deux formes sont de la même classe.

et dcô — py

Si / et />' ne sont pas de même parité mais que h est impair, rien n'empêche de supposer que la période de 10, commenci h termes plus loin. On peut donc, dans le raisonnement précédent, remplacer k par k -+- h\ mais k-\-h-\-k' esl pair; doue dans ce cas encore les deux formes sont de la même classe.

Kcstc le cas où /. et /,' //<■ sont pas de même parité el où // est pair. Je dis que dans ce cas les deux formes ne sont pas de la même classe.

FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. 2 |<»

En effet, <>n ;>

Qa;-^S

PS QR -(-i)*,

wi=o-^î-J' P'S'-Q'R' = i 0*'-

Supposons que les deux formes soient de la même classe, c'està-dire que l'on ait

to', = ! lr (ao — Py = i .

Par l'élimination de co, el w'( entre ces trois équations, on obtiendrait une équation de la forme

avec

X = P(aS'-YR') Q(PS'- 8R), H = R(aS'— yR')-i-S(PS'— 8R .

v = P(YP'-aQ') + Q(8P'-PQ'), p R(TP'aQ')-t-S(8P'— pQ'),

d'où

Xp — p = (PS — QR)(P'S'— Q'R')(aS - py) = <— « )A^'-

Donc, dans le cas qui nous occupe, Â et k' étant de parités

différentes, on aurait

X o — fxv = — i .

Or celte égalité est incompatible avec l'hypothèse h pair d'après le théorème du n° 270.

Dans ce cas, les deux formes sont équivalentes, mais non de même classe.

Eu résumé, pour que deux formes de même discriminant négatif soient de la même classe, il faut et il suffit: l° que leurs premières racines développées en fractions continues donnent naissance a des périodes composées des mêmes éléments a1 ans le même ordre, de façon que l'une des périodes se déduise de V autre par permutation circulaire des déments: ■>." que le nombre des éléments de la période soit impair, ou huai, si ce nombre est pair, que les nombres d'éléments qui, dans chaque fraction, précèdent un même élément >/<■ la période, soient de même parité.

i5o CHAP. M. LBS POEMES QUADRATIQUES BINAIRES.