Exemple I . — Soient les deux formes
/ - h -iory — ,' i l
el
de discriminanl On a
el
Les deux périodes sont identiques. De plus h= 1 est impair Donc les deux formes sonl de même classe.
Exemple II. — Soient les deux formes
77 x-— \orj- :>v\ ')./- — \oxy -i- iy-
discriminant - On a
tU]
et
Les deux périodes se déduisent lune de l'autre par permutation
circulaire; A ■>. est pair. Mais en faisant commencer la période de tù'{ au quotient incomplet ?., de façon que les périodes soient identiques, on a k = Jc'=3. Donc /.• et /.' sonl de même parité. Donc les deux formes sont de même classe.
Exemple III. — Soient enfin les deux formes
x--\- 6ccy — 6jk2i
de discriminant On a
el
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. • ". i
Les deux périodes sont identiques; h=2 est pair, /. ■ = i , /»' = 2 sont de parités différentes. Donc les deux formes sonl équivalentes, mais non de même classe.
331 . / utre façon d'exposer les résultats précédents . Formes réduites. — On peut exposer la solution précédente, de manière à rappeler celle qu'on a donnée pour les formes à discriminant positif. En effet, nous montrerons encore que toute forme est de même classe qu'une forme particulière, dite /orme réduite, et nous serons ramenés à voir si deux formes réduites sont équivalentes.
Vous appellerons forme réduite, dans le cas des formes à discriminant négatif, une forme dans laquelle la première racine est supérieure à i, et la seconde comprise entre — ■ i et o.
Pour qu'une forme (a, h, c) soit réduite, il faut d'abord que la première racine soit supérieure à la seconde, ce qui exige
Ensuite, il faut que le nombre i soit intérieur et le nombre — ;
extérieur à l'intervalle des racines, ce qui donne les deux autres
conditions
Enfin, il faut que les deux racines soient de signes contraires.
Donc il faut
Ces quatre conditions sont d'ailleurs suffisantes. La propriété fondamentale et caractéristique de ces formes réduites est la suivante :
Lorsqu'une forme est réduite, sa première racine se développe en fraction continue périodique simple et réciproquement.
Ce théorème résulte immédiatement de ce qu'on a dit au n" 268.
332. Toute forme est de même classe qu 'une forme réduite au moins. — En effet, soit une forme (a, b, c). Développons sa
première racine en fraction continue. Soil
Soil // !<■ nombre des termes <!<■ la période \. I! L; soil /.
le nombre des termes irréguliers ///. /// /■.
Posons, m /. est pair,
Posons, si /. es! Impair,
Dans Les deux cas on a une relation de la forme Px-h R
Qa;
(PS-Qi; t).
D'ailleurs, il est évident qu'un nombre algébrique du second degré, est toujours la première racine d'une certaine forme.
Donc, x est la première racine d'une certaine forme. I lette forme esl réduite, et elle est de même classe que la forme (a, A, c », puis
qu'elle s'en déduit par La substitution modulaire ( ). Le
théorème esl donc démontré.
Remarquons d'ailleurs que l'on pouvait faire commence! la période de x, deux éléments ou quatre, etc., plus loin. Donc, excepté pour A i ou h 2, il y a plusieurs formes réduites équivalentes à la proposée.
333. Maintenant, le premier problème du n° 305 esl ramené au suivant : Reconnaître si deux formes réduites sont de la même classe. C'est ici que l'aspect de la solution esl différent de ce qu'il était pour les formes à discriminanl positif. Pour les formes à discriminant positif, nous avons, en effet, vu (n° 311) que deux formes réduites ne peuvent être de même classe sans être identiques. Il n'en esl |>a-~ de même pour les formes à discriminanl négatif.
En effet, si l'on applique aux formes réduites la c lition
FORMES \ DISCRIMINANT NÉGATIF. i53
trouvée au n° 329, on voit que : pour que deux jormes réduites soient de même classe, il faut et il suffit : i° que leurs premières racines, développées en fractions continues, donnent naissance à des périodes composées des mêmes éléments dans le même ordre, de façon que l'une des périodes se déduise de Vautre par permutation circulaire des éléments; ■>." que le nombre des éléments de la période soit impair, ou bien si ce nombre est pair, que le nombre d'éléments qui, dans la seconde fraction, précède l'élément qui est à la première place dans la première fraction, soit pair.
334. Etant donnée une forme réduite, il est facile de former toutes les formes réduites qui sont de même classe qu'elle. Soit, en effet ,
le développement en fraction continue de la première racine de la forme. Cette forme est équivalente à celles qui ont pour premières racines les nombres
c'est-à-dire les nombres qu'on obtient en faisant commencer la
fraction continue (5i) successivement au 3e, au 5°, etc., élément*
Soit h le nombre d'éléments de la période de x. Si h est pair,
il \ ,i formes réduites équivalentes à la proposée; si // c^i impair,
il y en a A.
335. Résolution du second problème du n° 305. Nous allons maintenant résoudre, pour les formes à discriminant négatif, le second problème du n° 305.
heur formes èi diseri minant négatif ayant cte reconnues >//>/> irtenir à la même classe, trouver les substitutions modu laires qui permettent de passer de la première à la seconde.
La méthode qu'on vienl d'employer pour reconnaître que deun formes a, 6, c t, (a', &', c' i appartiennent à la même classe, donne en même temps une substitution modulaire <pii transforme l'une dans l'autre. En effet, on a trouvé, au n° 329, une substitution
qui transforme x en to,, et une substitution
qui transforme .e en w, .
DansCes conditions, il esl évidenl que la substitution G transforme la forme I a, /;, c) en la forme (//. p. J'y. \ en appelanl i rf, e,/ la forme qui admets pour première racine]; el que M ' transforme (d,e,f) en (a',b',c'). Donc la substitution Gll~' transforme i a . b, c) en (a', b', c'). Elle répond donc à la question.
Il faut maintenant trouver fautes les substitutions modulaires qui transformenl (a, 6, c) en (a, &', c').
Il suffît pour cela de trouver toutes les substitutions modulaires (iui transforment to'( en to, et de prendre toutes ces substitutions-là el toutes relies qu'on en déduit en changeant les quatre coefficients de signe (n° 327).
Soil L une substitution modulaire et qui transforme x en luimême. Il esl é\ ident que la substitution
GLH i
transforme (a, 6, c) en (a1, b', c') et par suite '•>', en to,.
Réciproquement, soit K. une substitution modulaire transformant w'. en (')(; il esl évidenl que la substitution
c.-'kil
transforme la forme <l . e, /') en elle-même, et par suite x en lmiiiiinc.
l'osons celle substitution égale à L. < m a
G iRH= L; d'où
K GLH i.
En résumé, <>n voit que /><>///■ trouver toutes les substitutions modulaires transformant tu', en <>>,, il faut trouver toutes 1rs
FORMES A DISCRIMINANT NÉGATIF. »..*».">
substitutions modulaires transformant x en lui-même; puis
multiplier ces Substitutions, à gauche par G, à droite par H-1.
336. Nous allons donc chercher les substitutions modulaires i|ui transforment x en lui-même.
Considérons la fraction continue formée par les éléments d'une période de x, >i le nombre h de ces éléments est pair, ou par les éléments de deux périodes de j\ dans le cas contraire.
Soit [A, B, .. ., L] cette fraction continue.
Appelons ^ la dernière réduite et ~ l'avant-dernière réduite
de cette fonction. < )n a
Piar + R{ ~ Q{x -h Si el
P^—QtR, = -+-!,
puisque le nombre d'éléments de la fraction continue est pair.
Donc la substitution
/Pi B,
VQi S, répond à la question .
Considérons maintenant les fractions continues qu'on obtient en prenant les éléments de 2,3, f, 5, ... périodes lorsque h est pair; [,6, 8, io, . . . périodes lorsque h est impair.
< )n obtient de la même façon de nouvelles substitut ions.
/P« R2\ /«', Rs\
1 QS Sj' VQ2 S3/
répondant à la question.
Enfin, les substitutions inverses des précédentes répondent également à la question.
337. Je <li> que ce sont la toutes les substitutions répondant à la question.
I m effet, >oii
une telle miI^i îtul i<»n .
Nous allons d'abord trouver des Inégalités auxquelles satisfont
256 < MM'. VI. LF.S FORMES QDADBATIQUBS BINAI RBS.
les coefficients a, [3, y, 8. <)n a par hypothèse
< >n en i ire
Or cette équation ayant pour racine le nombre x qui se développe en fraction continue périodique simple, a nécessairement ses deux racines de signes contraires, la positive étant ]>lus grande <|tie i. cl la néi;ati\f plus grande que — i (n"268).
Comme on peut évidemment supposer
car sinon on changerail le signe des quatre coefficients a. B3 v, 8, les conditions précédentes s'expriment par les inégalités
Les nombres [j et y étant positifs, il en est de même de (3v. L'égalité
i i6 i *S - pT = j
montre alors que le produit a8 est aussi positif, c'est-à-dire que -/ cl o sont de même signe. Mais remarquons maintenant que, si dans une substitution de la forme < V> i, les deux coefficients y. el S ont un certain signe, lorsque les deux autres sont positifs; dans la substitution inverse
les coefficients qui occupent les places a cl o, dans la substitution précédente ont le si^nc contraire lorsque les deux autres coefficients sont encore positifs. Donc on peut se borner à cbcrcbcr
les Substitutions de la forme i ,"> 2 ) pour lesquels on a
ci l'on aura ensuite à adjoindre aux substitutions trouvées leurs inverses.
FORMES V DISCRIMINANT NÉGATIF. 267
Je dis que L'on a
En effet, si L'on avait
L'inégalité ( 55) donnerait
Des inégalités (5-) et (58 | on déduirait
Py> arô,
ce qui est incompatible avec l'égalité (56).
On a done
