Ceci posé, réduisons - en fraction continue. Soit
- étant irréductible, à cause de L'égalité (56), est identique à la dernière réduite de cette fraction continue.
D'autre part, soit £r l'avant-dernière réduite de cette fraction continue.
On a
suivant «pic le nombre des quantités c/.A / est pair ou impair. Mais on peut toujours supposer que ce nombre ésl pair el que y.o' — 3y' i. Il suffit, en effet, dans le cas contraire, de
remplacer / par (/— r)H — Soit donc
i »'i i xo' - P'y = i.
le nombre (\r> quantités <■/, l> / élanl pair.
Des égalités (56) et (5(j) on déduit
CHAP. VI. — M- PORMBS QUADRATIQUES BINAIRES.
■j. <li\ ise doni yi / — y i. Mais il esl premier avec y : donc il dn ise 3 — 3'. Or 3 cl 3' sonl plus petits < | m . • a. Donc
el L'égalité (60) donne alors (61) o = S.
L'égalité ( 53 ) >'écril alors
d'où
il ou
JT
Comme il n'y a qu'un développement possible de x en fraction
continue, el que d'ailleurs la suite ". b / contient un nombre
pair d'éléments, celle suile se compose d'une ou plusieurs foi- la -h lie 1 A , 15 L) définie au n" 336. Donc la substitution
est une des substitutions «pie nous avons désignées plus liant par /P, R,\ (\\ Rt\
U sj' U. sj ••••
Il est doue démontré que les substitutions ( ). changeant a
en Lui-même, pour lesquelles a, fi, v, 8 sonl positifs, ne sonl autres
<|UC les siibslilul ion-
Qi s,
Quant aux substitutions dans lesquelles y. S, v, 8 ne sonl pas tous positifs, nous avons dit que ce sont les inverses des précédentes.
Donc, eu définitive, le procédé indiqué au d° 336 donne bien toutes les substitutions modulaires transformanl x en Lui-même.
PORMES a DISCRIMINANT NÉGi l II
■iog
339. Remarque. — Toutes ces substitutions constituent la suite des puissances, positives ou négatives, de I" substitution
Pi H,
Qi S,
Il suffit, pour le démontrer, de démontrer que la substitution
P , ftjM-A , , • i , . • • /p« R«\ ,
) est le produit de la subslilulion „ par la
q , sn+1y ' \q„ s„; ■
. • /Pi Ri
substitution
En effet
( /i périodes \ . I). . . ., L).
s'obtient en remplaçant dans ~ le dernier quotient incom-
plet I- par
s'obtient en remplaçant dans — - le dernier quotient incom-
plet L par
DoiK
el
Q,1'" : R" IMV;-<»,i:
F'n -4 s PiQ»+QiS«
J^P - li
IWt = S, " ' " !;,r si:.
Sim-i I ! i Ri Q/i S i S„
D'ailleurs on \<>ii facilement que les nombres l\ I',, Q|R« el Pi^^// Qi Sfl sont premiers entre eux; <lc même les nombres R|Pn si ','/ cl lii'^/, S|Sn. Les égalités précédentes donnent
donc
P„ .= PiP«- Q»R Q« i= PiQ*-hQiS„.
i: i:,l' SjR
Sn-r i 'm Q/j — Si S„.
Donc la substitution
\Q/i-+ 1 SB+i/ esl identique à
PiPfl QiR« RiP« > 1 1 :
PiQ*-*-QiS„ R,Q S.S,,/
Or il esl facile de reconnaître dans celte dernière le produit des deux substitutions
P„ R«\ /Pj K,
Qfl sj \Qi S,
Le théorème esl donc démon lié.
