RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE PELI

Donc la substitution I . ) transforme to', on (•),.

Maintenant, cherchons toutes les substitutions modulaires qui jouissent de cette propriété.

Pour cela cherchons toutes les substitutions modulaires qui transforment x en lui-même.

Or

donc les substitutions cherchées sont les puissances positives ou oégatn es de la substitution

Les substitutions modulaires, transformant tù\ en w,, sont les substitutions de la forme

li ■

Enfin les substitutions modulaires transformant la première des formes données dans la seconde sont les substitutions précédentes, ou ces substitutions multipliées par la substitution 1 u»295).

3 il . Résolution de l'équation de Pell, dans le cas du discriminant négatif. — Mais on pourrait chercher à résoudre autrement le problème de trouver toutes les substitutions modulaires qui transforment une forme, réduite ou non, en elle-même.

In effet, la solution donnée au n" 317 pour les formes à discriminant positif s'applique sans y rien changer aux formes à discriminant négatif. Nous avons vu que :

Toutes les substitutions modulaires qui laissent invariable une forme i a, l>. c ■ sont de I" forme

i IUI'. \l. — LES PORMES QUADRATIQUES MNAIIU

y, 3, y, o étant données par les formules

I lui , CU

7 étant le diviseur de la forme et /. u étant deux nombres entiers satisfaisant à l'équation de Peli

Mais le coefficient de t- étanl ici négatif, la méthode de résolution de celte équation donnée au n° 3 1 S ne s'applique pins. Nous allons donc, au contraire, déduire la solution de l'équation

de Pell, de la connaissance des substitution^ ( ) déterminées par

la méthode précédente.

'M1"!. Nous rappellerons d'abord que, ainsi qu'on l'a remarqué .•m n" 318, la quantité \ D est divisible par u2, el que le quotient

est nni»ni à /.( to ou à — i (motl4). Donc la quantité

est aussi divisible par --', et le quotient - est congru à zéro ou

à un (mod \) ou ce qui revient au même; on a l'une des deuxeongruences

A (( I lllml 7 ' l.

OU

4 A = a2 ( ih.mI .j 7- ».

Je disque, réciproquement, deux nombres A et a* qui satisfont à Tune de ces conditions sont l'un le discriminant changé de sigm et l'autre le diviseur d'une forme réduite.

En effet, si c'est la première condition A o(modo"2) qui est satisfaite, considérons la forme

a étanl la racine à une unité près par défaut de —

Si c'est la seconde condition f A t- ( inod \-y-) qui est salis-