RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE PEU

faite, considérons la forme

:ii': a), (ia — i i.

a étant la racine à moins clc - unité près de — * c'est-à-dire celle

des deux racines, par défaut ou par excès, o(ui esl la plus approchée.

Ces deux formes ont comme discriminant — A, comme diviseur t, et elles sont réduites.

En effet, en calculant le discriminant de ces formes, on trouve dentiquement — A.

I ) ,iu ire part, dans ces deux formes les coefficients de .r- . dexy « I de r" sont divisibles par 7, et comme d'ailleurs, le dernier est — 7, ce nombre a est leur plus grand commun diviseur.

Enfin ces formes sont réduites, car les conditions du n'J 331 deviennent ici : pour la première forme

et pour la seconde

< cr-

(a— ij2> o.

conditions remplie-, d'après la définition de a.

Connaissant une forme réduite ayant comme discriminant — A et comme diviseur t, pour résoudre l'équation t- — A«2= <x2, on calculera, comme on l'a fait plus haut, une substitution

dulaire ( „ ) qui laisse celle forme invariable, et les nombre-;

l. u correspondants sont, d'après les formules i 63 i, donnés par le-

■>ï CBAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

relations

t = aa ■+■ bu,

l> el c élanl le deuxième el le troisième coefficient de la forme. De sorte que, dans le cas de A ^: ol mod ~- . on a

et, dans le cas de jA -- (mod 'jt'-'). on a

t = -(aa — 2a (3

bans ces formules, on donnera à a el [3 toutes les valeurs possibles, à savoir les premiers et seconds coefficients des substitutions modulaires qui laissent la forme invariable, el L'équation de Pell sera complètement résolue. Celte résolution n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de l'analyse indéterminée du second degré qui sera exposée plus loin.

343. Cherchons, en particulier, le système de solutions dont les

valeurs absolues sont les plus petites possibles (la solution t = a, u = o non comprise). Remarquons, en effet, que d'après la forme de l'équation

les valeurs absolues de / el de // satisfaisant à L'équation croissent ou décroissent ensemble.

Pour cela, d'après la formule

il faut prendre pour (3 ta plus petite valeur possible. Or les valeurs de [i sont les nombres

du n" 336 pour les substitutions dans lesquelles p es! positif, et les valeur^

li,. IU. ...

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATIOK DE l'il.l.. 265

pour les substitutions inverses (sans compter la valeur , j = o cor-

respondanl à la substitution identique, qui donneraii la solution

écartée par hypothèse u o, t ~ .

I > a u I re pari .

1 1 faut dune prendre

P= Im et, par suite,

Donc, dans le cas de

a - o (mod 72).

on a

" Ri,

t = ï(P,-aR,) et, dans le cas de

i A 7- ( mod 4 7- l.

on a

l = -(2Pt— 2aR,+ RO.

Tel est le système des deux plus petites solutions positives.