Exemple. — Soit l'équation
de sorte que
A o (mod -1).
On doit prendre pour a la racine à une unité près de—? c'est-à-dire ici
La forme à considérer est
Ci. -G. - I), tu, a -t- ^5 = 4 "-+- y— — -•
La période de w^ a un terme : il faul donc prendre deux
I Il VI'. VI.
i - POHMBS Q0ADRATIQ1 l S l;l\ \IHI S.
péi iodes, pour tonner
l)i)iK
< )n aura dune ici
Ri
i = K'7 ' • i) " ':■ Tel esl le système des deux [dus petites solutions positives.
ii i.'i. hu système <l<-s deux plus petites solutions positives <l< l'équation de Pell déduire toutes les autres.
Comme on sait trouver toutes les substitutions qui Laissent une (orme invariable, on sait aussi trouver toutes les solutions de l'équation de Pell. Il suffît, dans les formules du n" 343, de remplacer l'i et li, suecessivement par V-, et R2, P3 et 11,, .... Mais mi peut aussi déduire directement toutes les solutions de l'équation des deux plus petites solutions positives.
Faisons d'abord la remarque suivante : soient t . u . /''.//" deux systèmes de solutions de L'équation de Pell.
Posons
c'est-à-dire
( fi 5 )
t'-+- n'i'i t"-h u"sTL i "\ a
/ '/" \llll"
lu" I" II'
Je dis que les nombres t et // forment un nouveau système de solutions. En effet, de l'égalité (64) ()'i déduit aussi
RÉSOLUTION DK L'ÉQUATION DE PBLL. 267
d'où, en multipliant les ('(imitions (64) et ( ''(>-
Or les deux facteurs qui figurent dans le premier membre sont, par hypothèse, égaux à i. Donc
p— iH2= 52;
1 et 11 satisfont donc à l'équation. Mais il reste à montrer qu'ils sont entiers. Supposons d'abord
A - o (mod(is); on a
/"- - A il"2 = 1- .
Donc 7-, qui divise A, divise aussi *'2 et ("-. Donc 1 divise // et t". Donc les formules (65) et (66) donnent pour / el u do valeurs entières.
Supposons ma in le n a ni
[A =<t2 (mod J72 1;
on en déduit d'abord que t esl pair.
Soit
On a
(68 I A p2 ( mod 4 v- i,
(69) «'! Aa'* = 4p*,
(70) r"*— Aw"2=4p2,
ap
L'équation (68) montre que A esl <lî>. ï^il>l<- par p2. Les équations (69) et (70) montrent alors que t'2 el t"'1 sont divisibles parp2 etj par suite, que /' el l" son! divisibles par p.
Soit
A op», /'- B'p, / 'i p.
Les formules précédentes deviennent :
(0'0"~ ou' n" )p
L'équation (72) montre que 0'- est de même parité que 8a'2, el l'équation (73) que 0"-' esl «le même parité que 8k"2.
Donc (8'0")2 est de même parité que l S m' m")2 et, par suite B'Q" esl <lc même parité que ou' u".
Donc t esl un nombre entier.
D'autre part, d'après L'équation (71). 0 est impair.
Donc 0'-, étant de même parité que ou'2, esl aussi de même parité que //'-.
Donc H' el k' sont de même parité.
Il en est de même de 8" et //".
Dune 0'//" el h" 11' sont de même parité.
Il en résulte que u est entier.
31C. Nous ferons encore la remarque suivante : soit /, // un système de solutions positives. Les deux quantités / et ( — u) constituent aussi évidemment un système de solutions de l'équation «le IVII. On a d'ailleurs
u s A ti — lu1
Ceci prouve d'abord que la quantité - — — esl positive.
Di 1 , . , . . / H- U i/Â / — If /A c plus les deux quantités positives > ayant
comme produit 1 , la plus grande, - -^ — > esl plus grande (pie 1 ;
l autre, — - — » est plus petite que 1.
RÉSOLUTION m. l'équation de pell. 269
Réciproquement, si un système de solutions /, // es! tel que
""" " v — soi l plus grand que 1, t et u sont positifs.
Car L'égalité (74) montre que -~ est positif et plus petit
que 1 . On a donc
d'où l'on déduit sans peine que t et a sont positifs.
Si, au contraire, un système de solutions t, u était tel que la
quantité— — — fût plus petite que 1. c'est que t serait positif el u négatif.
347. Ces remarques étant faites, appelons /. u le système des deux plus petites solutions positives et posons
c'est-à-dire
""- 7-> [, Mi*' ,.-2.3 A"' *' •••]•
En donnant à // les valeurs entières successives croissantes
on obtient une suite indéfinie de systèmes de solutions positives
/,. M,, /,». Uî, . . . tn, Un, ....
Je dis qu'on les a tous. Supposons, en effet, qu'il existe un système de solutions positives, T, U, non contenu dans la suite précédente. T ne pouvant être plus petit que /,, puisque t. u représente le système des deux plus petites solutions positives, T serait conquis entre deux nombres consécutifs de la suite t„ et /„+i : par milite. U serait compris entre un el un+\ j et l'on aurait
t„+ Mi T+Uy/Â 1,,+ i -• Un j v 'a ^
