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Donc les inégalités ("•*>) peuvent s'écrire
T 4-Uj/Â /„ — z/»^! , /,- - #/| %/Â
Or on verra, comme précédemment, qu'en posant T -t- U y/À /„— f/,tV/Â" T'— l'y/Â
T' et l seraient entiers cl satisferaient à L'équation de Pell.
I bailleurs — étant plus grand que ï, les quantités T', U'
foi*meraien1 un système de soin lions positives, et ces solutions seraienl plus petites que /,, //, : ce « | ni est impossible.
348. Remarque. — Considérons les formes réduites du n°342. Soit, par exemple, A : o ( niod ?- ) el . par suite, la forme réduite
Kl-, (t
/„,//„ étant un système de solutions de L'équation de Pell; on a, par les formules (63 i,
A / arsu,
\ —, — "- Un, 0/i
comme coefficients d'une substitution laissant la forme invariable I) autre part, toutes ces substitutions sont, comme nous L'avon:
vu au n' 339, les puissances de la substitution ( )•
1 Qi S, /
RÉSOLUTION DE [/ÉQUATION 1>K PELL. '" i
Cherchons comment les indices des solutions de L'équation de
l'ell correspondent ;ui\ exposants des puissances.
Je dis que /„, un correspondent n [
En effet, il <isi évident «pu- les valeurs positives de y.„ el y« données par l<^ formules (76) correspondent aux valeurs positives de // el croissent avec n.
D'autre part, il en est de même des coefficients de la puissance //"'1U' <\c { ' "' )•
\Qi s,/
Donc /,,. //,, correspondent à ( ) •
Le théorème s'étend facilement au cas de n <Co.
Il se démontre de la même façon dans le cas où 4A = o-2(mod {<r2).
349. Résolution du troisième problème du n° 305 pour les formes à discriminant négatif: Etant donné un discriminant négatif, trouver les différentes classes de formes ayant ce discriminant.
Nul A le discriminant changé de signe. Cherchons d'abord les formes réduites ayant ce discriminant. Soil (a, />, c) une telle forme : on a (n° 331 )
parce que la forme est réduite, el, d'autre part,
I Si 1 b"-— ac = A.
Les inégalités ( 79) et (80) donnent, en les retranchant membre à membre,
et, en !<•> multipliant membre à membre.
Réciproquement l«'s (\eu\ inégalités (82) et (83) peuvent rem-
placer les deux inégalités 79 el N- . car l'inégalité 1 83) montre que les (1imi\ (juaiiiiii-- '/ >!>-■ <■ r\ h — - A - -ont de signes contraires; el d'ailleurs puisque b <!<>> c'est évidemment la première de ces quantités qui est négative, et la seconde positive. \in-i l'on peul remplacer les cinq conditions précédentes par les cinq suivantes
li o,
(a ■+■ c )-- i A- 0, I, ac a.
ajoutons à I " t'-ii i* 1 i t *'• (87) l'égalité (88) multipliée par i: il \ ienl
d'où, puisque
et '/ fortiori
h <> el '■ 0, a — c /4Â,
< )n donnera donc à a successif emenl toutes les \ aleurs entières positives, depuis 1 jusqu'au plus grand nombre entier inférieur
à s Ta.
Une valeur de a étant choisie, l'inégalité (90) montre que I on pourra prendre pour c toutes les valeurs négatives, depuis — 1 jusqu'à l'entier uégatil immédiatement supérieur à a \ jA.
h et c étant choisis, on prendra pour b la valeur négative
l> — y/A -+- ac ,
.1 condition que cette valeur >oii rationnelle.
Les valeurs de '/, />, c trouvées, satisfaisant à I inégalité 1 i)u) el à L'égalité (88), satisfont à l'inégalité (87). D'ailleurs la valeur de a est positive, celles de b el d<- c sont négatives. Ces valeurs sal isfonl donc a toutes les conditions.
RÉSOLI HOK DE I. KOIATION DE PELL. '~ .',
< )n trouvera ainsi plusieurs formes réduites de discriminant — A (on en trouvera certainement, caril existe certainement desformes
de discriminant — A, par exemple la forme ./•'- — Ai - i.
Il restera à reconnaître celles île ces formes qui sont de même classe. D'après ce qu'on a dil au n" 334, ces formes se distribuent eu groupes de formes de même classe. Le nombre de ces groupes e>i le nombre des classes <le^ formes <le discriminanl —A.
Il importe de remarquer que ce nombre est fini.
;io<>. Exemple I . — A = 2,
( >u doit essayer
Pour n 1 .
Donc on peut essayer Pour '/
ce qui ne donne aucune valeur de c.
Il faut donc prendre
alors
il v a donc une seule forme réduite
Par suite, il y a une seule classe de formes de discriminan égal à — 2.
Exemple II. — A = 3. Alors
< )n doit essayer Pour a = 1 ,
Donc on peut essayei
Pour c i .
valeur qui n'esl pas rationnelle.
Pourc =
Pour >v = 2,
I >onc on peut essa^ il
Uors
Pour n '>.
il n"\ a aucune valeur possible de c.
()n trouve ain>i deux formes
(i, — i, — 2) et ( ■>.. - i, — i).
On vérifie qu'elles ne sont pas de même classe.
il y a donc deux classes de forme- >\v discriminant égal à — '>.
Exemple III. — A 5,
II faut, essayer
a = 1, a = ?., a 3. " = 4- Pour <■/ 1 .
il faut essaj er
Pour (/ 2,
il faui essaj er
i , c Pour a = 3,
il faut essayer
Pour a \. il n \ a aucune valeur possible de ( ,
Ne gardant de ces valeurs que celles qui donnent i\i'^ valeurs
RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE PELL. 2j5
rationnelles de l>. <>n trouve les formes réduites
fi. 2, — i) et (2, — i, — - «.
<|iii ne sonl pas <!•' même classe.
Il y a donc deux classes de formes de discriminant égal à — 5.
Exemple l\ . - - A - .
Il faut essayer
a — i . a — 2, Pour a == i ,
il faut essa \ er
ii - \, a — 5.
Pour c/ = 2,
il faut essayer
Pour a = 3,
il fa u t essa \ er Pour a = 4>
il faut essayer l 'our '■■
il n'\ a aucune valeur possible de c.
Si Ton essaye ces différents systèmes de valeurs de a et c, on ne trouve que quatre de ces systèmes donnant une valeur rationnelle de //. el l'on arrive aus quatre formes réduites
Mais si l'on développe les premières racines de ces formes en fiai lion continue, on trouve respectivement
176 CHAP. M. — l-KS FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
D'où l'on déduit que la première el la seconde forme sonl il<même classe, ainsi que la troisième el la quatrième 1 n° 333). Il \ ;i deux classes de formes de discriminant égal à
>; VI — Recherche des nombres représentables par une forme.
351. Nous r<'\ enons enfin au problème fondamental de la théorie des formes, énoncé an n° 273 :
/ oir si 11 n nombre m est représentable pur une forme 1 <> . b,c) ci trouver les valeurs de x et de y, pour lesquelles l<i représentation a lien.
En d'autres tenues, résoudre, si c'est possible, l'équation indéterminée
Il I1 • h .1 Y c )'-' = III .
Tout d'abord, nous pouvons nous borner à chercher les représentations propres du nombre ni par la forme (ci. I>. c). En effet, comme nous l'avons vu au n" 27i, si un nombre /// est improprement représenté par une forme (a, l>. c I, pour les valeurs 0/ . ', y' des variables : i° le nombre m est divisible par 0-; '>.° le
nombre >- est proprement représente par la rorme [a, b, c) pour
les valeurs x', y' des variables.
Donc cherchons les diviseurs de m qui sont carrés parfaits. S'il n'en existe pas. le nombre m ne peut rire improprement représenté. S'il en existe, soit 0- l'un d'eux : on cherchera les repré-
sentations propres du nombre
Le problème étant ainsi Limité aux représentations propres, démontrons le théorème suivant :
'XVI. Théorème. Pour qu'un nombre m soit proprement représentable pur une forme (u, b. c), il faut que le discriminant <le la forme, changé de signe, soit reste quadratique
île m.
En effet, soient a, y le système de valeurs de x ei r pour l< is- <l uellcs la forme \u, b. c) représente proprement le nombre ///. de sorte que
