RECHERCHE DES NOMBRES REPRESENTABLES PAR UNE FORME

■j. el V étant premiers entre eux, il existe deux nombres j. r>, tels

que

KO Py I .

Ceci posé, effectuons sur la forme (a, ù, c), la .substitution nmdulaire

< .clic forme devient

[a«! ■>/>■/.•■ 'Y'-, 2(aap /> ao - i» ^ y -; c T ' ! • aPs >.I>'j/j . co2].

Le premier coefficient de cette forme est justement é<;al à /// ; posons les deux autres égaux à n cl />, et cette forme s'écril

Mais elle est de même classe que la proposée, puisqu'elle s'en

déduit par la substitution modulaire ( N ]• Donc elle a même

discriminant. Donc

mp — n'1 = D :

d'où

/?'- — D (m od m 1.

ce qui démontre le théorème.

353. Celte condition que — D soit reste quadratique de m esl «loue nécessaire, mais n'est évidemment pas suffisante, pour que le nombre ni soit rcprésenlable par la forme (a, l>. c), puisque Jeux formes de même discriminant ne sont pas toujours équivalentes.

M, us on voit, par la démonstration précédente, que non seulement — D est reste quadratique de m et que, par conséquent, un peut déterminer des entiers //, /> satisfaisante la condition

mais que, de plus, la forme

est de même cuisse que la forme (a, b, c).

Réciproquement, si l'on peu/ déterminer des entiers n. p satisfaisant à la condition (gi) (ce qui exige que — D soit

'7's nui'. VI. LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

reste quadratique de m i, et >///>■ ces nombres n, /> soient tels que les formes | m, n . // et • >>. b} c ■ soient de même classe, />■ nombre m est représentable />"/■ la forme (a, />. i .

En effet, le nombre m esl évidemment représentable par la forme i ///. //. p) (pour x = i , y -- <> | : il l'esl 'lune aussi par la forme (a, b, <■) qui esl de même classe.

I) ailleurs on >aii trouver les substitutions qui permettent (le passer de la forme (m,/i,/>)à la forme (a, 6, c), on saura donc trouver des valeurs de xe\y pour lesquelles la forme (a, b, c) représente le nombre ///, correspondantes à la racine // de la con-

gruence

Soit ( > la substitution qui fait passer de la forme («, b, c)

à la forme (///, n, /> \\ a el y >«»ut un système de valeurs de x ci r pour lesquels la forme (a, b, c) représente le nombre //.