Ce procédé peut même servira résoudre l'équation. Soit

par exemple,

i3a?«- - zoxy i7.y* = 717.

( )n peul écrire

(i3x ■+■ loyy2-^- jGy- — <)'3'2i .

Il faut prendre y de façon ijuc 9021 56 r- soil un carré. D'ailleurs .''. y étant une solution, — .r, — y en est aussi une. Donc "ii peul se bornera y positif.

Pour

y = o ;i3<i— ')(i y2 — g 32i qui n'est pas un carré.

y = 1 '|!>i — 56 y2= 9265 id.

y = -2 9 ! 2 i -- 56 j 9°97 id.

1 ■ — ; ni' 1 "ii, > - = 88i 7 id.

^ = i <( '»•» 1 — 56 r- =8425 id.

j' — "> 0''1 — ''' .' '2 -— 7921 I11' est Ie cane de 89.

y = 6 <p'2i — 56 y*= 7 '><>"> qui n'est pas un carré.

y = 7 <)'!■'. 1 — Ï6y* = (>'»77 id.

y = 8 9 Î2i — 'il'» >■- — "> 7 i 7 id.

^ = 9 9^21— ">6j- - 4785 id.

y — 10 <) ! < 1 "il; r- 3721 qui est le carré de 6r.

y =11 i|!'i 56 ^ = 2545 qui n'est pas un carre.

i 1 ' g ; ' 1 Jby2 — 1 ! >7 id.

y = i3 g3a] - â<>/'- est négatif.

On peut doue prendre

^ = "> avec i')x-\- 10 y = 89, ou

^ = 10 avec 1 ;./■ -+- 10 y = r 61.

Pour ^ = 5 avec 1 .'>./; -f- 1 oy = 8<), il \ ient

Pour j' = 5 avec i.'i/+ loy = — 89, il vient il/ — 1 li), impossible.

B/j i MAP. VI. LES P0RMB8 QUADRATIQUES BINAIRES.

Pour i 10 a\cc i '>./■ nu (i I , il \ ii'iil

l'on i i 10 avec i •')./■ K>r-- — 6i, il vienl i ; / -- — ii'ii . impossible.

En i<-s u in »'■ . quatre systèmes de solutions

y = "•. y- — 5, j = '"• j - — io.

359. Cas particulier où m -<>. — Dans ce cas particulier, l'équation indéterminée à résoudre esl

a x ' ■> bxy - c y- = o,

( III. (>|| |l()s,|l|| to,

Pour qu'elle soil possible en nombres entiers, il Paul donc que équal ion

.iii ses racines commensurables, ce qui exige que I * soit un carré

p. niait. Cette condition étant remplie, soient

ces dcu\ racines réduites à leur plus simple expression. On a

Les solutions générales de l'équation proposée sonl alors données par les deux systèmes

/ étanl un entier arbitraire.

){60. Nous avons toujours supposé jusqu'ici que le discriminant changé de signe de la forme n'était pas un carré parfait ; parce que,

ANALYSE INDÉTERMINÉE Itl SECOND DEGRÉ. 's">

s'il en était ainsi, la forme se décomposerai I en un produit de deux formes linéaires divisé par </ | n° 272).

Supposons maintenanl que />- — ac soit un carré parlait d'-. Comment résoudrait-on alors l'équation indéterminée

ni- ■> bxy - r- = m ?

< lette équation peul s'écrire

[ ni l> d)y][ax • (6 — d ty | = am .

Pour l.i résoudre, il faul décomposer de toutes les laçons possibles le nombre "/// eu un produit de deux facteurs a, a' et poser

ax ■ l> — d )y - y.' '.

d'où

( cl — b)%—-( il h -/ ■> ad a — a'

Mais parmi les différents systèmes de valeurs en nombre fini ainsi trouvés pour x, y, on ne devra accepter que celle- qui sonl entières.

g VII. — Analyse indéterminée du second degré.

361. La (pic-lion traitée dans le Chapitre précédent appartienl ,i l'analyse indéterminée du second degré, dont nous allons maintenant nous occuper en général.

Soit d'abord une équation du second degré à une inconnue

ni- h ./■ c = (>.

Les coefficients a, b, c étant des nombres entier-, on demande

pour x des valeurs entières.

< )i on a

— I, y I, - TÔT-

Donc, pour que l'équation proposée admette une solution entière, il faul d'abord que l>- — 4'"' soit un carré parfait m-.

CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BTNAIRBS.

Ensuite, il faul que l'un des deux nombres b: m ou tous les deux soienl « 1 î n isibles par > u .

On voil d'ailleurs immédia terrien I qu'une solution entière de l'équation esl un diviseur de c. D'ailleurs la question n es! qu un i .1- particulier de la recherche des racines commensurables, exposée au n" 239.

)U>!2. Équation du second degré à deux inconnues. — La forme générale d'une telle équation esl

<'i\\ n./1 ■> bxy -4- cj'ï-r- 'i.dx -+- -icy -h f — o.

Les coefficients <i, 0, c étant des nombres entiers, on demande les systèmes de valeurs entières de x el ) . qui satisfonl à cette équation.

(On peut toujours supposer que les coefficients des termes en a r. . y soienl pairs, car, s'il n'en étail pas ainsi, on multiplierait tous les termes de l'équation par 2.)

I (ans le cas particulier où les coefficients <l el e sont nuls, 1 équation proposée se réduit à

«■>- ' ibxy r y" /;

et la résolution de I équation n'est autri chose que la question traitée dans Le Chapitre précédent.

MV.). Passons maintenant au cas général où <l el e son! quelconques. Nous diviserons ce cas général en deux, suivant que ne — //- esl différent de zéro ou non, ou, puni' parler un langagi géométrique, suivant que l'équation (o/*) représente une courbe à centre unique ou une courbe du genre parabole.

Premier cas. ac l>- 0. Cas d'une courbe à centre, unique. — Multiplions l'équation proposée par (ac — l>'-r qui n esl pas nul. L'équation obtenue peul - écrire

a[[ ac I'1 1 ./■ 1 be — cd i|-

-+■ zb[(ac — />- 1 ./■ - - 1 be — cd \\ [l ac l>- ij 1 bd — ae >\

c I* ac - /'- )y > bd -ai -r-(ac — b*)(acf-i ibde ae* - cd* — fl>'-\.

l 'osons

. ne hr ■ Cil 1 \ .

1 ac '''il bd </<■ 1 \ .

INALYSE INDÉTERMINÉE l>l SECOND DEGRÉ. >.8j

Posons aussi

ac — b*= l>.

nef ■+■ wlxlr ,/,-- r,/: /'//• S,

il \ ienl

r94) aX* 26XI cY* — ItA.

( Remarquons que la transformation précédente est la même que relie qu'on fait en Géométrie analytique pour rapporter la courbe à des axes passanl par son centre.)

\ des valeurs entières de x et y correspondent des valeurs entières pour X et Y. 11 faut donc commencer par résoudre l'équation(g4), ce que l'on sait faire.

Si elle était impossible, l'équation proposer le serait elle-même.

Si elle est possible, soil \ ,,, ï „ un système de solutions. On aura

/ Y be — cd

■'' = Tr ■

\ ac — 11-

I Y0- lui ae

'■' ac-b»- '

solutions qui ne seront acceptables que si elles sont entières.

Si D ^> o, la question peut être considérée comme résolue, parce que le nombre des valeurs de \„. ï 0 étant limité (n° 357 1, il est facile de voir quelles sont celles qui satisfont à celte condition que les expressions p,5 1 soient entières.

Mais si D << o, le nombre îles systèmes de valeurs trouvées pour \„. ^ ,, étanl infini, il n en est plus ainsi.

Dans ce cas, ces systèmes de valeurs sont les premiers el troisièmes coefficients des substitutions qui transforment la forme (a, 6, c) en une certaine forme ( — DA, n, p) < n" 355).

Ces substitutions sonl de la forme GLH-4, Il et G étant certaines substitutions déterminées; I. étanl une puissance quel- 1 onque, positive ou négative, d'une substitution déterminée

Gï>

Soil

el ^ soni des fonctions linéaires de y./,, ,'}/,. ■

uni'. VI. LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

< >r on .1 \ ii ( n" !{01 i que les restes de -//,. '}/,, "a- Sa par rapport à un module quelconque, se reproduisent périodiquement. Il en esl donc de même pour V, el \ „ et, par suite, pour les numérateurs <lc> expression^ <<|.'. i <l;iii\ emeiii au module ac — b2 . Donc il suffira de trouver la période, puis d'essayer dans une période, les valeurs de \ el >ï qui rendent les expressions i go i entières.

h,in> les autres périodes, ce seronl les valeurs de même rang qui -,ii isferonl à la question .

364. Exemple /. Soil à résoudre en nombres entiers I équation

ixy — ■>.)--:- >.r — \y — <> = o.

L équation (q4) es' u:i f<)6) X* -N1» s Y* - 16

( Iherchons d'abord des représentations propres An m un lue 36 pai la forme X2-J- 2XI 2 Y2.

Nous devons pour cela commencer par déterminer un nombre n sal isfaisanl à La congruence

//- 3 ( mod 36 1.

// doit être divisible par 3, posons /? = 3 n! \ il vient

in'1 1 1 mpd 1 2 1.

congruence évidemment impossible.

Cherchons donc des représentations impropres du nombre 36.

On a

Les carrés par lesquels 36 est divisible sont 9, \. 36 el les quotients sont 4j 9? '• " faut "loin; chercher des représentations propres soil de /j> S(,'i de 9, soil de 1 .

1 Représentation />/■<>/,/■<■ de \.

\ ' > YY » Y- j.

il faut d'abord déterminer n tel que

a" ; 1 mod i 1,