ANALYSE INDÉTERMINÉE DU SECOND DEGRÉ
colle congruence est impossible, parce que 3 n'esl pas reslc quadratique de [.
<" Représentation propre de 9.
v tX'Y' >\ g
1 1 faut déterminer // lel que
n1 \ 1 mod 9),
n doil être divisible par 3. Posons n = 3/i';
3/i'-' 1 1 mod 3 l, congruence impossible.
3" Représentation propre de 1 .
(97) \ sX'Y'— aY'! = 1.
Il faut déterminer /' lel que
n'- \ ( mod 1 \.
La valeur de //, n'ayant besoin d'être déterminée qu'au module 1 près, ou peut prendre pour 11 n'importe quelle valeur, par exemple // o. On doit ensuite déterminer p par la condition
— P = 3, d'où
el Ton ,i à considérer la forme
Cherchons si les formes (1, 1. — 2) el (1,0, — 3) sont de même (lasse.
Les premières racines de ces formes sont
( )n reconnaîl que les deux formes -oui de même classe. Posons
'M" CHAP. M. — LBS FORMES (QUADRATIQUES BINAIRES.
ou a
tOi
Quanl ;iu\ substitutions modulaires < | < i i transforment x en luimême, ce sont les puissances de la substitution ( )•
Les substitutions <|in transforment <•>', en w( sont de la forme
/o i\ / y/, (3 A /o i \ , o/. •;/. o/. \i o/Vïa w. ) \ . i -i/ \fr v 3 en posanl
Les valeurs de \. ^ qui satisfont à L'équation (97) sont donc les premiers et troisièmes coefficients de ces substitutions, ou ces coefficients changés de signe, c'est-à-dire
l les signes 4- ou — étant pris ensemble).
Les valeurs de \ et ^ qui satisfont à l'équation (96) sont donc
Les formules (95) donnent alors
Pour / < >.
Pour A- = 1 Pour / — 1 ,
etc
ANALYSE INDÉTERMINÉE Dl SECOND DfGRÉ.
i)!)."). Exemple //. — Soit L'équation
./ xxy — Gyz ■+- ix — 7. y H- 3 = o.
< )n a donc à résoudre l'équation
\ t-2XY — 6Y* = — 126.
< '.herchons d'abord les représentations propres de — 126 par la formel 1,1, — 6), il faut pour cela résoudre d'abord la congruence
( )u lrou\ e
a - - ( mod — 126 1.
1" Prenons d'abord n = — 4p-
Nous déterminons alors p par l'équation
d'où
Nous avons à chercher si les deux formes
(1, 1, —G) et (—126, — 4g> — '9»
sonl de même classe.
< )n trouve pour les développements des premières racines de ces formes en fractions continues
Les deux formes sont de même clasM-. et posant ' I 1 1 1 1 . 1 1 1 j .... I .
on trouve
— jx — >
CHAP. VI. — LES FORMES Ql AIMtATIQl ES HIN v I 11 I ~- .
Les substitutions qui transforment a; en lui-même son I les puissances de la substitution
9 ■>■ Posant
on trouve que les substitutions qui transforment la forme (i, i, —6)
en la forme (— 126, (g, —19) sonl de la forme
c :)(;; nu, A)
5aA— 17^-+- 5ya— 178* 2a* — 7 P* 'V/' — ~?J'' ~>y./,— 17 3/ :>*/. 7?A-
Les valeurs de \ et \ sont donc
\ — ( 5 y/, — 1 7 P* + 5yA — ' 7 r>/. », ï =-(5aA-i7PA),
nu
d'où
( ïa; <:3/ | 7 = • ': 1.
(les signes 4- se correspond, ml ainsi que les signes — ).
Reste à déterminer /.• de façon que les numérateurs de ces expressions soient divisibles par ~ . Or, si l'on forme les puissances
successives de la substitution ( ), depuis la puissante zéro, on
trouve qu'elles sont respectivement congrues (mod -) à
c :)(:■:)(: :)G;)C î)G.;)GJ)
pour l<s sept premières puissances; à partir de quoi les mêmes résultats se reproduisent, la période étant ainsi composée de sept tei mes,
