RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINEAIRES

3G9. Problème. — Pour quelles valeurs de x le trinôme ax2-+- bx + <■. est-il //>> carré parfait ?

Celte question revient à résoudre l'équation indéterminée ax%-\- bx -+- c = y-,

ce i|ui se fera par la méthode précédente.

Suivanl les valeurs de a. />. c, le problème peut être possible ou impossible. Lorsque le coefficient a est positif ou nul, le problème peut avoir un nombre indéfini de solutions. Lorsque le coefficient a est négatif, le problème ne peut avoir qu'un nombre limité de solutions.

§ VIII. — Réduction des formes quadratiques à des formes

linéaires.

370. La question de la représentation des nombres par les formes quadratiques peut être regardée d'un autre point de vue que celui du § \ I de ce Chapitre. Dans ce paragraphe, nous nous étions proposé, étant donnée une certaine forme, et étant donné un nombre, voir si le nombre est représentable par la forme, et trouver la représenta lion. Mais on peut se proposer le problème suivanl : Étant donnée une forme, quelle est l'expression générale des nombres qui sont représentables par cette forme?

Nous bornant à des exemples particuliers, nous allons voir que les nombres représenlables par une forme quadratique sont, à de certaines conditions, représentables aussi par certaines formes linéaires. Ce résultat justifie le litre de ce paragraphe.

371. Décomposition des nombres en somme de deux carre*. — Décomposer un nombre /// en une somme de deux carrés, c'est trouver deux nombres x, y tels que

C'esl «loue voir m le nombre /// esl représenlable par la forme (i, o, i).

Examinons d'abord le cas particulier où /// est impair, cl où l'on demande pour x et y des nombres premiers entre eux;

3ûO CBAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

autrement dit, l'on cherche les représentations propres du nombre /// par la forme (i , o, i).

Pour que le nombre impair /// soil représentable par la forme .r- -\-y2, il faut que le discriminant changé désigne déforme de la loin ic, c'est-à-dire — i, soit reste quadratique de ///. Le nombre — i ilnii donc aussi être reste quadratique de tous les facteurs premiers de ///.

Il faul donc que tous les facteurs premiers de m soient <!<■ la forme \ h — i .

Réciproquement} supposons cette condition remplie. La congrruence

(rnod m |

est alors possible, cl a \>J'- solutions incongrues, u. étant le nombre des facteurs premiers différents de m (n° 169, \ Il ). Soit n une solution, et soit j> le nombre tel que

l'our qu'à cette solution corresponde une représentation propre du nombre /// par la forme (i, o, i), il suffit (pic cette forme et la forme [m, n, p) soient de même classe. Mais ces deux formes ont le même discriminant i, et nous avons vu (n" 323) qu'il n'y a qu'une classe de formes de discriminant i. Donc ces deux formes sont de même classe. Donc à chaque solution de lacongruence (106) correspond autant de décompositions du nombre /// en une somme de deux carrés, qu'il \ a de substitutions modulaires transformant la forme (/>?, //, /> ) en la forme (i, o, î) (n" 355). Or ce nombre est égal au nombre de substitutions modulaires transformant la forme (i, o, i) en elle-même (n° 316). Enfin ce dernier nombre est égal a [ (n° 318). Il \ a donc {.■>.''■ représentations du nombre.

Remarquons d'ailleurs (pie chaque décomposition

en donne immédiatement sept autres

*2-M— J')~- (— •<•)-■ ■.»■*-, (-■'•>- -t— j-)-, .'•-•'•-• y + (--r)\ (—yy + x*, (-7)!+(-x)».

D'ailleurs deux de ces décompositions ne sont pas identiques, excepté si m = i. En effet, pour que deux de ces décompositions

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3oi

soienl identiques, il Tant que l'un «les nombres x ou y soil oui, ou bien que ces deux nombres soienl égaux; Si l'un des nombres .r, y est nul, comme ces nombres smii d'ailleurs premiers entre eux, il faut que celui qui n'est pas nul soit égal à i . Alors m = i . Si x el y sont égaux, pour qu'ils soient premiers entre eu\, il faudrait que X el r fussent égaux à i ; alors m serait égal à 2, cas supposé écarté, puisque /// est impair.

Donc, le cas de m = i écarté, si l'on ne considère pas les Imil représentations trouvées plus haut comme distinctes, le nombre j . ■>.'■' -de représentai ions doit être divisé par 8, ce qui donne 'i^-1 , et Ton arrive finalement au résultat suivant :

Tout nombre impair m différent de i, et dont tous les facteurs premiers sont de la forme fA-j-i, est décomposable en une somme de deux carrés, de iV"~{ façons en désignant par <j. le nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.

Quant au nombre i il est décomposable d'une seule façon en o- -f- 1 -. Exemples :

(320 est encore décomposable en 10 + 1 5 , mais les nombres io et i5 ne sont pas premiers entre eux; cette sorte de décomposition va être examinée tout à l'heure.)

Comme cas particulier, on a ce théorème, dû à Fermai et démontré par Euler :

Tout nombre premier de la forme \h-{-\ est décomposable

d une seule façon en une somme de deux carrés.

M"2. Passons maintenant à la représentation des nombres pairs, et non-, examinerons encore, en premier lieu, la représentation impropre.

Soienl 2 m le nombre proposé el

im = x- -\- y*

une décomposition de > m en une somme de deux carrés.

x et y ne peuvent être pairs tous les deux, puisque, par hypo- 1 hèse, \\^ sont premiers enl re eux .

302 CBAP. vi. — LES POBHES QUADHATIQOES BINAIRES.

11 ne se peul pas non plus que l'un de ces nombres soit paii el l'autre impair, puisque alors la somme de leurs carrés ne pourrait être paire.

Donc x el y sonl impairs tous les deux.

Soient

y = ■.' '■ On a alors

> m ( './■' li- i ! i ' l I-.

d'où

Une première conséquence est que /// esl impair, \in-i. //// nombre pair ne peut rire décomposé en une somme de deux carrés premiers cuire eux, que si ce nombre est simplement pair.

Ensuite on peul (''(rire

m = (jr'-t-/-t-i)8-h(ar' — /)*.

D'ailleurs, x'-\-y'-\-\ et x' — y' sont premier- entre eux, car >'ils avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait leur somme ix'-^-x et leur différence ■> >' i: ce <pii est Impossible, puisi pie 2.x1 -\- i et iy' -\- i sont premiers en ire eux. Donc à toute décomposition propre de 2/w, correspond une décomposition

propre de ///.

Réciproquement, soit

une décomposition propre de m , on a

>n, , 2(X«-HY2) =(X+Y)«-|-(X V)2.

\ et Y étant premiers entre eux, \ - ^ et X — Y le sont aussi. Donc aussi, à toute décomposition propre de m, en correspond une de 2 ///.

Il résulte de là que le nombre de décompositions propres de './>/ est égalait nombre de décompositions propres de m.

Exemple

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A ORS FORMES LINÉAIRES. 3o3

373. Occupons-nous enfin des décompositions impropres. Soient /// un nombre el

une décomposilion de m en une somme de carrés de deux nombres o./', 01 . ;nant o comme plus grand commun diviseur. On voil que m est divisible par S2, et que l'on a

./ el y1 étanl premiers entre eux il en résulte qu'à la décomposition supposée de ///, correspond une décomposilion propre

de ",-■ Réciproquement, à toute décomposition propre de ^->

correspond une décomposition de m en une somme de carrés de deux nombres ayant 8 comme plus grand commun diviseur.

On peut supposer, dans ce qui précède, ô = i, ce qui correspond aux décompositions propres.

En résumé, pour trouver toutes les décompositions propres ou impropres de m, il faut diviser m par tous les carrés par lesquels il est divisible, i compris; chercher les décompositions propres du quotient et remultiplier les deux termes de chaque <leeornposition par le carré qui a servi de diviseur.

Exemple /. — Soit le nombre

considéré au n" 371. Outre i, ce nombre admet encore V-' connue diviseur carré.

Le quotienl de fa5 par 52 est 1 3 qui se décompose propremenl de la façon suivante

( )n en déduil

')-'. i i ( "). » i- -i- ( ->.3 l'on

comme seule décomposition impropre de 325.

/ / eiiiple II. — Soit le nombre

;,/, CHAP. VI. il» FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

Ce nombre esl divisible par les carrés