I .es quotients sonl

Le premier el ]<■ troisième de ces quotients ne sont pas représentables proprement, parce qu'ils contiennent un facteur premier 3 (|ui n'est pas congru à i (mod i i. Mais le second el le troisième quotient sonl représentables proprement. On a

i. i3 = » ' ig ig 22 .

( )d en déduit les trois représentations suivantes du nombre 7605, toutes trois impropres :

HTi. <)n peut remarquer que les considérations précédentes, non seulement montrent de combien de laçons un nombre est décomposable en une somme de deux carrés, mais permettent d'opérer la décomposition.

D'ailleurs, il pourra être plus simple d'opérer par tâtonnements.

Comme conséquence de ce <|tii précède, on a le théorème suivant :

Si un nombre m est décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux, II en est de même de i<>ni diviseur de m.

En effet, d'après l'hypothèse, ce nombre /// ne peut être qu'un produit de facteurs premiers de la forme fA + i, ou le double d'un tel produit. Il en «si évidemment de même de loui diviseur de ce nombre.

375. Décomposition d'un nombre en A/ somme d'un carré et du douille (I un carré. — ■ Occupons-nous maintenant de la décomposition d'un nombre en la somme d'un carré el du double

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3o5

d'un carré; c'est-à-dire, proposons-nous, étant donné ni, de trouver les nombres ./•, y tels que

Examinons d'abord le cas particulier où m est impair et où l'on demande pour jet j des nombres premiers entre eux. Il faut d'abord que le discriminant changé de signe de la forme, c'està-dire — 2, soit reste quadratique de m, et, pour cela, il faut que tous les facteurs premiers de m soient de l'une des formes S h -\- 1 ou 8 A - 3.

Réciproquement, supposons cette condition remplie. La continence

(107) «2 = — 1 (mod m )

est alors possible et a 2E1 solutions incongrues, p. étant Je nombre des facteurs premiers différents de m (n° 169, VII). Soit n une solution et soit

Pour qu'à celle solution corresponde une représentation propre du nombre m par la forme (1, o, 2), il suffit que celte forme et la loi me (m, n . j>) soient de même classe. Mais nous avons vu (n°323) qu'il n \ a qu'une classe de formes de discriminant 1. Donc les deux formes (1,0, 2), (m, /?, p) sont de même classe.

De plus, à chaque solution de la congruence (10-), correspondent autant de substitutions modulaires transformant la forme ( m. n,p) en la forme (1, o, 2) qu'il y en a transformant la forme (1,0,2) en elle-même, c'est-à-dire deux (n" 318) et, par suite, deux représentations propres du nombre par la forme. Il y a donc ■>..■>.'.'■ de ces représentations.

Remarquons d'ailleurs que chaque décomposition

m — x'!-i- iy-

en donne immédiatement trois autres

D'ailleurs, <>n voil immédiatemenl que deux de ces décompositions ne sont pas identiques, excepté si m = 1 .

3o6 CBAP. VI. LES PORMBS QUADRATIQUES BINAIRES.

Donc, ce cas écarté, si l'on ne considère pas les quatre représentations, donl du vient de parler, comme distinctes, I»' nombre ■>. ,:>.v- des représentai mus doil être divisé par [, ce <|ui donne al* ' . et l'on a le résultai suivant :

Tout nombre impair m. diffèrent de \ , et dont imis les /acteurs premiers sont de l'une des formes SA i "// SA 3, est décomposable en lu somme d'un carréet du double d'un cuir. de deux nombres premiers entre eux, de :>.'.'■' f façons, en désignant par ul le nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.

Quanl au nombre i, il est décomposable <l une seule façon :

Exemples

'v363 est encore décomposable en 11 +2.11 ,' niais c'est une

décomposition impropre.)

( iomme cas particulier, on a ce théorème <lù à Lagrange :

Tout nombre premier de l'une des formes <SA 1 ou %h 3 est décomposable d'une seule façon en une somme d'un carré et du double (i un carré.

WtiS. Passons maintenant à la représentation impropre des nombres pairs.

Soient 0.DI le nombre proposé, et

■un = ,r2-i- if-.

Il s'ensuit que x est pair; par suite y est impair, puisque x el j) sont premiers entre eux. Soit

On a alors d'où

y = if 1 .

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3o7

D'abord m est impair. Ainsi, un nombre pair ne peut cire décomposé en la somme <lu carié et du double du carré de deux nombres pemiers entre eux, que s'il est simplement pair.

I )c plus

/' el -r'-r-i sonl premiers entre eux, puisque x et y Je sont. Donc à toute décomposition propre de im correspond unedécompositior propre de m .

Réciproquement, soit m = \2H- j.\ - une décomposition propre de m; \ est impair, et l'on a

2 Y et X sont premiers entre eux, car X et Y le sont et X esl impair.

Donc aussi à toute décomposition propre de ni en correspond une de 2m.

II résulte de là que le nombre de décompositions propres de

■un est égal au nombre de décompositions propres de m.

Exemples :

- »<"> = 26 -H 2.52= 22-h a.ig .

377. Occupons-nous enfin des décompositions impropres. On arrive comme au n" 373 à la conclusion suivante :

Pour trouver toutes les décompositions propres ou impropres de m. il faut diviser m par tous les carrés par lesquels il est divisible, i compris; chercher les décompositions propres du quotient et remultiplier les deux ternies de chaque décomposition par le carré qui a servi de diviseur.

Exemple 1. — Soit le nombre 363 = 3. î i , considéré au n° 375,

Outre i. ce nombre admet encore i i comme diviseur carré. Le

(63 •> ., quotient — - = 6 se décompose proprement en

( )n en déduit

36 > m .'..il.

3o8 CHAI'. VI. — LKS FORMES Ql LDRATIQOES BINAIRES.

Exemple II. — Soit le nombre

Ce nombre est divisible par 1-, ."»-, 1- , (5. 17 )2 elles quotients

sont

I .<■ premier et le troisième quotient ne soni pas représentables.

Quant aux deux autres ils donnent

d'où l'on déduit

79.475 = io5 -t-2.i85 = i35 -+-2. 175 = v>3j -f-2.85 . pour représentations du nombre proposé.