On a le théorème suivant, analogue à celui du n

Si un nombre m est décomposable en la somme <!' un carré et du double d'un âarré de deux nombres premiers cuire eux, il en est de même de tout diviseur de m.

379. Décomposition d'un nombre en la somme d'un cuire et du triple d'un carré. — Occupons-nous maintenant de la décomposition d'un nombre m en la somme d'un carré et du triple d'un

carré

Nous supposons d'abord /// impair cl non divisible par '6, et nous cberchons les valeurs de .r ely premières entre elles.

II faut d'abord que le discriminant changé de signe de la forme, c'est-à-dire — 3, soit reste quadratique de m, et pour cela il faut (pie tous les facteurs premiers de m soient de la forme 6h -f- 1 .

Réciproquement, supposons celte condition remplie, la congruence

«2s= — 3 (mo<l m )

est alors possible et a 2!1 solutions incongrues, u. étant le nombre des facteurs premiers différents de ///.

RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES. 3oo

Soit n une solution et

/;-' — mp — — 3.

Pour qu'à cette solution corresponde une représentation propre du nombre m parla forme (1,0, 3), il suffit que cette forme et la forme (/>?, n. p) soient de même classe. Mais nous avons vu (n°323) qu'il y a deux classes de formes de discriminant 3. Ces deux classes ont comme représentantes les deux formes réduites

(i, o, 3) et (t., i , 2).

Si donc la forme (m, n, p) n'était pas de même classe que la forme (1, o, 3), elle serait de même classe que la forme (2, 1, 2); et le nombre m serait représentable par cette seconde forme. Mais cela est impossible, parce que m est supposé impair, tandis que la forme (2, 1. 2) ou z.r'2 -f- 2 xy -f- >y- ne peut évidemment représenter que des nombres pairs. Donc la forme (/;?, /*,/>) et la forme (1 , o, 3) sont de même classe.

En poursuivant le raisonnement comme aux nos 371 et 375 on trouve que :

Tout nombre impair m, différent de 1, dont tous les fadeurs premiers sont de la forme 6A-f-i, est décomposable en la somme d'un carré et du triple d'un carré de deux nombres premiers entre eux, de 2V-~i façons en désignant par pie nombre des facteurs premiers différents contenus dans m.

Exemples :

7 = aM-3.i«,

1 iS3 = 7 x i3 = 10"— 3. 19"= 34"-+- 3.3-.

1 1 83 est encore décomposable en 2(> -f- 3 . 1 3 , mais c'est une

décomposition impropre.)

Comme cas particulier, on a ce théorème du à Euler :

Tout nombre premier de la for/ne 6h ■+■ 1 est décomposable d'une seule façon en une somme d'un carré et du triple d'un carré.

380. Passons maintenant à la représentation impropre des nombres pairs. Soit im le nombre proposé cl

'.[.. CHAP. vi. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

Il s'ensuit que x ely sont de même parité, comme d'ailleurs ils

surit premiers entre eux, ils sont tous les deux impairs.

< )n ;i alors d'où

I)imc m est aussi pair. Soit m ■-= ■> m' ,

./• '- -f- x' et jK^-f-y' sont pairs. Donc />?' est impair. Ainsi, ;/// nombre pair ne peu i être décomposé en la somme d'un carré et du triple d'un carré de deux nombres premiers entre eux, que s'il est doublement et non triplement pair.

De plus, on a les deux équations

ar'-+- 3 y'-*- 2

Si .r'etjK'sonl de même parité, l'équation (108) donne une

décomposition de m' en un carré et le triple d'un carré de deux

nombres

Ces deux nombres sont d'ailleurs premiers entre eux, car, s'ib avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait les nombres

ce qui est impossible.

Cette décomposition de m1 est donc une décomposition propre.

Si x' et y' ne sont pas de même parité, c'est l'équation (109 i|ui donne une décomposition propre de m'.