RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES A DES FORMES LINÉAIRES
lin tout cas, à une décomposition propre de •>. m correspond une décomposition propre de m'.
Réciproquement, soit
une décomposition propre de m'. X et Y seront de parités différentes, puisque /«'est impair. On aura
\ >\ et \ — ^ sont premiers entre eux. En effet, un facteur premier commun à ces deux nombres diviserait
et
\ et ï étant premiers entre eux, ce facteur premier commun ne pourrait être que ■>..
Mais X et Y étant de parités différentes, les nombres X -f- 3 \ et X — Y ne sont pas divisibles par 2. Us sont donc bien premiers entre eux.
Donc aussi à toute décomposition propre de m', correspond une décomposition propre de im.
Il résulte de là que le nombre de décompositions propres de >/n est égal au nombre de décompositions propres de m'.
381. Passons maintenant à la représentation propre des nombres divisibles par 3. Soient 3 m le nombre proposé et
3 ni = t1 -h 3/2.
Il s'ensuit que x est divisible par 3 et, par suite, y ne l'est pas.
Soi e n t
27—3.2?', y = 3jr'dzi.
< )u a alors
D'abord /// n'est pas divisible par 3. Donc un nombre divisible pur .1 in- peut être décomposé en la somme du carré et du triple du carré de deux nombres premiers en in- eux, </ue s'il est siniplement divisible par 3.
3l3 CHAP. VI. - LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.
De plus,
./•' et •>. y' i sont premiers entre eux, puisque x cl y le sont. Donc à toute décomposition propre de 3/>* correspond une décomposition propre de ni.
Réciproq uemenl , -oit
une décomposition propre de ///.
\ n'esl pas <li\ isible par 3, el I on a
im - ; V gY« H r- 3 V.
31 el X >oni premiers entre eux, car \ el ^i le sont, et \ n'esl pas divisible par 3. Donc, aussi à toute décomposition propre de m, en correspond une de '.\ m .
Il résulte de h'i que le nombre de décompositions propres de \m est égal au nombre '/<' décompositions propres >!<• m .
Nous laissons mi leeteur le soin de terminer cette question en examinant le cas de la décomposition impropre et en traitant quelques exemples numériques.
On remarquera aussi que : lorsqu'un nombre est décomposable en la somme d'un carré et du tripled'un carré de deux nombres premiers cuire eux, il en est de même de tout diviseur de ce nombre.
382. Nous avons été amenés, dans le courant de la question précédente, à parler de la forme -ix- 4- ixy -\- iy-> Occuponsnous de la représentation des nombres par cette forme. Cette question pourrait se traiter directement*; mais on peut aussi la ramener à la précédente en remarquant les identités :
si y est pair et .r impair :
SI , ' .ry y*) 2 I (^ si y est impair et X pair :
RÉDUCTION DKS FORMES QUADRATIQUES A HES FORMES LINÉAIRES. >l3
si x et y sont de même parité; et l'identité
2 (X*+ 3Y» i = 2[(X — Y)« -t-(X — Y)(aY) ■+■ (aY)»].
Ces identités montrent que tout nombre représentable par la
forme
2 (x2 -+- xy -T- y'1)
est égal au double d'un nombre représentable par la forme
et qu'il y a autant de représentations du premier nombre par la première forme que du second nombre par la seconde forme.
383. Décomposition d'un nombre en la somme d' un carré et du quintuple d'un carré. — Traitons encore de la décomposition d'un nombre en un carré et en un quintuple de carré.
La forme x2+ 5 j'2, ayant comme discriminant 5, remarquons tout de suite qu'il existe une autre classe de formes de discriminant 5, représenté par la forme réduite
i.rl — ixy -+- 3 y'2.
Cherchons d'abord les nombres m impairs et non divisibles par 5, représentables proprement par l'une ou l'autre de ces formes. Ces nombres ne doivent contenir que des facteurs premiers dont — 5 soit reste quadratique; c'est-à-dire de l'une des formes
><>// -!. -H) Il -" 'J, 20A-7-7, 20/f-T-C).
Cette condition remplie, soit w le nombre de ces facteurs premiers différents, on voit qu'il \ a ^J + l représentations propres du nombre m par l'une ou l'autre des deux formes citées plus haut.
Mais il reste à déterminer par laquelle de ces deux formes se fonl ces représentations. Or il est évident que la première forme .r-'-l- h y- ne peut représenter que des nombres congrus à 1 ou à — 1 (mod 5), tandis (pic la seconde forme
