IX- -- ■).r\ \ yi = -S-L iL

ne peut représenter que de> nombres congrus à 2 «m — 2 (mod 5).

ii'l CHU'. \l. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

Donc les ••,.'J~rl représentations propres <lu nombre m sonl des représentations parla première forme si m esl de l'une îles deux formes 5h rfc i, par la seconde si /// est de l'une des deux formes

Remarquons d'ailleurs que les iv-+i représentations par la pre mière forme ne donnent que 2^"' décompositions distinctes du nombre en un carré et en un quintuple de carré.

38i. Des considérations analogues s'appliquent aux formes à discriminant négatif, mais le nombre de représentations est infini.

Cherchons, par exemple, les nombres décomposables en la différence entre un carré et le double d'un carré,

(no) a?* — ■> 1- - m.

Examinons d'abord les nombres /// impairs, et ne cherchons que les valeurs de x et de y, premières entre elles. Pour que l'équation (i io) soit possible, il faut que x soit reste quadratique de tous les facteurs premiers de m. 11 faut donc que ces facteurs premiers soient tous de l'une des formes S h -f- i ou 8 A — i .

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, on voit, comme dans les questions précédentes, que le nombre m est représentable proprement par une forme de discriminant — a et par toutes les formes de même classe. Mais nous avons vu (n°350) qu'il n'y a qu'une classe de ces formes. Donc le nombre /// est représentable par la forme x- — 2y2. Mais, d'après ce qu'on a vu, il y a une infinité de valeurs de x el y répondant à la question.

Exemple :

7 = 3« — i.it- 5-' — ». ;-- îï2 -..,-

385. Pour ce qui est de la représentation propre des nombres pairs, soit

x doit être pair, et, par suite, y impair. Soit ./• = ix\ y = 2y'-\- i m = ix- — ( ■> y m- i > v' ■> y' [)* — i{x' — 2j-'--i)2. On voit que m doit être impair. De plus, on voit qu'à chaque