n remarquera à ce propos que la somme, la différence

le produit de fractions décimales sont des fractions décimales, mais qu'il n'en est pas de même, en général, du quotient de

deux telles fractions.

OPÉRATIONS Sli; LES NOMBRES FRACTIONNAIRES. 2.5

En effet, le quotient des deux fractions — '■'- — et— — — > par

1 IOOOO IOOOOO l

exemple, esl

'{»- X IOOOOO 1 270

<) i ! 4 x îoooo g 1 34

Il se présente sous forme de fraction ordinaire. Or une fraction ordinaire n'esl pas, en général, réductible à une fraction décimale, car :

GO. La condition nécessaire et suffisante pour qu une fraction ordinaire suit réductible en décimales est que, cette fraction étant réduite à sa plus simple expression, son dénominateur ne contienne que les facteurs premiers 2 ou 5.

Car si y- = > r étant irréductible, 10^ est un multiple de b.

b \oi> b l

Donc b ne contient que les facteurs premiers 2 ou 5.

Réciproquement, soit une fraction — — •

Si y. = [3, cette fraction est décimale.

Si a et ^ sont différents, supposons a << [i pour fixer les idées :

a a.2P-a rt.2?-a

61. Evaluation d'un nombre fractionnaire à une certaine approximation. — Ainsi une fraction n'est pas en général réductible en décimales.

Mais il existe en tout cas des nombres décimaux qui sont dans une relation simple avec cette fraction. Nous voulons parler de ses valeurs approchées décimales.

On appelle valeur approchée d'un nombre fractionnaire à une unité, un dixième, un centième, etc., près, le plus grand nombre d'unités, de dixièmes, de centièmes, etc., contenus dans ce nombre.

62, Règle. — Pour obtenir la valeur approchée d'un nombre fractionnaire, à une unité, un dixième, un centième, etc., près. on multiplie son numérateur par 1, 10, 100, etc., on cherche le quotient et une unité près du produit obtenu pur le dénomi-

26 MIVI'. I. — RAPPEL DES I III < >lil! - LES PLUS I l.i Ml M AIHES.

mil r h r de la fract i<m . enfin <>// divise ce quotient par i. to, 100, etc.

En effet, ><»it la fraction à évaluera près. < >n a

■ I I - ■>,, d'où

; ioo 7 x ioo

Or 2 est plus petit que ~ .

I>(ui( esl plus petit que i, et par suite ^TT- - est plus petit

que

Donc ; — ' esl la valeur approchée de à près.

ioo ■ ' 7 ioo l

Définition. - On dit qu'un nombre variable a tend vers une limite fixe \, lorsque la différence entre a et A peut devenir et rester plus petite que n'importe quel nombre donné fixe.

Remarque. — Si l'on considère les valeurs approchées d'un nombre à une unité, un dixième, un centième, etc., près, ces valeur- diffèrent d<- moins en moins de co nombre. On voit qu'elles tendent vers ce nombre. Leurs numérateurs Miccessifs obéissent d'ailleurs à une loi simple, dont nous parlerons plu> tard.

I aleur approchée /mr excès. - Les valeurs approchées « | u < nous venons de définir sont des valeurs par défaut. <)n appelle valeur approchée à une unité, un dixième, un centième] etc., près par excès, la valeur précédente augmentée de une unité ou un dixième, ou un centième, etc. Ces valeurs par excès sonl plus grandes que le nombre fractionnaire : elles tendent égalemenl vers ce nombre.

63. / aleur approchée à — près. Voici une généralisation immédiate des notion- précédentes : On (//>/>(■//<■ valeur approchée par défaut à près d'un nombre le plus grand multiple de contenu dans ce nombre.

II est facile de voir que pour obtenir /</ valeur par défaut d'un nombre à près, il suffit de multiplier ce nombre par -,.

OPÉRATIONS Si II LES NOMBRES FRACTIONNAIRES. 27

d'évaluer le nombre obtenu à une unité près, et de multiplier

le résultat obtenu par — • r 9

La valeur par excès à — près esl égale, par définition, à la précédente augmentée de — • 6 q

64. Racine mième d'un nombre fractionnaire à une certaine approximation. — On appelle racine mième approchée à — près,

par défaut d'un nombre, le plus grand multiple de — dont la puissance mième soit contenue dans ce nombre.

En particulier, la racine mume à une unité près par défaut d'un nombre a est le plus grand nombre entier dont la puissance m"'""' soit contenue dans le nombre a.

Dans le cas où le nombre a est entier, sa racine mxeme à une unité près a été définie déjà au n° 20. Nous avons rappelé au n° 24 qu'il existe un procédé simple pour obtenir cette racine.

Si le nombre donné est fractionnaire, sa racine mieme à une unité près s'obtient en extrayant la racine mieme à une unité près de sa partie entière. Par exemple 4> qui est la racine cubique à une unité près du nombre 71, est aussi la racine cubique à une unité près du nombre 71 + 7; car le cube de (4 -f- 1) étant entier et dépassant 7 1 dépasse aussi 71-7-7-

Enfin la recherche de la racine m1"11'' à ' près se ramène à celle

de la racine mième à une unité près. En effet, soit j le nombre

donné, soit x — sa racine mKme à — près. q q r

x est défini par les inégalités

b pm v

Donc x est Ja racine mieme a une unité près <lu nombre y--

■s CHAP. I. RAPPEL DES THÉ0RIB8 LES PLUS ftLÉMENTAIBES.

( )n voit que : pour obtenir In racine m"""' à /; pris d'un

nombre -, ■ il faut multiplier ce nombre pur '-—• extraire In

b ■' ' ' jj"'

racine mième à une unité près du résultat et multiplier le

nombre trouvé par ■

La racine m"""' à près />"/■ excès est, par définition, le

nombre qu'on rient de trouver, augmenté de -•

Dans la pratique, <>n ;i surtout à considérer les racines ///"'", ;'i

— , — , , - • • près.

III ÎOO IOOO '

Si Ton calcule la suite des racines mlèmes d'un nombre -r à — >

--■> > ••• près, plus généralement l;i suite des racines //>'""

lOO IOOO ' l D

d'un nombre à ' -j '' - --,, • ••• près, la suite des nombres ^-, ^,

les puissances /nièmes tendent vers .

:■> ••• tendant vers zéro: on obtient une suite de nombres dont