Problème. — Former tous les diviseurs d' un nombre

Soit le nombre n décomposé en facteurs premiers

n = a«6PcY. . .l\

Considérons le tableau suivant :

Multiplions chacun des nombres de la première ligne par chacun des nombres de la seconde ligne; multiplions chacun des résultats obtenus par chacun des nombres de la troisième ligne, et ainsi de suite. Finalement, nous obtenons un certain nombre de produits. Ces produits sont les diviseurs demandés.

En effet :

1" Tous ces produits sont diviseurs de n; car, d'après la façon dont ils ont été formés, ils ne contiennent que les facteurs premiers <r/, b, . . . , /, et avec des exposants au plus égaux à ceux qu'ils ont dans le nombre // :

20 Tous les diviseurs de n sont obtenus ainsi. En effet, soil

le diviseur

a*'cY'...A' (a'L'z, P'<p, ..., X":X)-

On l'a formé, car on a pris tous les nombres de la première ligne du tableau (i), en particulier a"'. Ce nombre aa' a été

3o CHAP. II. — COMPLÉMENTS \l \ THEORIES 6LÉMENT AIRES.

multiplié par tous le^ nombres de la seconde ligne, «m particulier par i, ce qui a donné comme produit aa'. Ce produit a"' a été multiplié par tous les nombres de la troisième ligne, en particulier par '-.'', ce qui a donné comme produit <i'1' <■':' . ci ainsi île suite. En définitive, le diviseur a*' et' . . ./' a été formé;

3 Deux des diviseurs obtenus sont différents, car ils diffèrenl au moins par le facteur choisi dans une ligne du tableau (i). Or deux |>i « h lui i-< de lac leurs premiers ne peuvent être égaux que s'ils sont idenl iques.

En résumé, on a bien formé ions les diviseurs «lu nombre /?,

chaCUD d'eux une l'ois seulement.

66. Nombre des diviseurs d'un nombre. — Dans la première ligne du tableau (i) il y a (a -- i) nombres. Chacun de ces nombres, multiplié par les f|j-f i) nombres de la seconde ligne, donne | P i ) produits ; en tout (a -h i) ( fi -h i) produits. Chacun d'eux, multiplié par les -• - 1) nombres de la troisième ligne, donne (y-i-i) produits; en tout (a — i) (fi 4- 1) (y -- i) produits, etc. En tout il 3 a «l«i ne

(a-hi)(pH-i)...(X+i)

diviseurs du nombre n.

67. Somme des diviseurs d' un nombre. — Additionnons les nombres contenus dans chacune des lignes du tableau « i . Mous

obtenons les sommes

Ensuite, faisons le produit de ces sommes. Pour cela, il faut multiplier chaque terme de la première par chaque terjne < 1 « - la seconde, puis chacun des résultats obtenus par chacun des termes de la troisième ligne, et ainsi de suite. On voit donc que les termes du produit obtenu sonl justemenl les diviseurs de //. La somme oherchée est «loue égale à ce produit, c'est-à-dire à

c'est-â-dire à

FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES DIVISEURS D'UN NOMBRE. 3l

C8. Somme des puissances piémes des diviseurs d'un nombre;

/'millions symétriques des diviseurs d'un nombre. — La somme des puissances p,r""'s des diviseurs du nombre n csl évidemmenl égale à

(ip -haï1- aiP-h...-\-a*P)(iP-hbP-\-b*P-+-..:-*-b$P)...(i-hlP-i-...-hfip), c'est-à-dire à

a«*+-l)p j //,3-iV— i /(X+D/j—,

ai'— i 6 — i l— i

Sachant calculer les sommes des puissances semblables des diviseurs d'un nombre, on sait calculer les fonctions symétriques rationnelles quelconques de ces diviseurs.

09. Produit des diviseurs a" un nombre. — Soient (2) 1, d, d', . . ., n

tous les diviseurs d'un nombre.

Considérons les diviseurs complémentaires :

Les diviseurs de la suite (3) sont en même nombre que ceux de la suite (2); d'ailleurs deux quelconques d'entre eux sont différents. Par conséquent la suite (3) contient, comme la suite (2), tous les diviseurs de n. On a donc, en appelant P le produit cherché

P = i.d.d' ... n et

Faisons le produit de ces deux égalités et remarquons qu'il y a, dans chacun des seconds membres, (a-f-i)((3-|-i)...(X-f-i) facteurs ; il vient

ps = re(a-t-U(p+i)...0H-i) d'où

P = y//t(a+D(p-hU...0.+ n.

û2 mil1, II. COMPLÉMENTS \l \ THÉORIBS ÉLÉMENTAIRES.

§. II. — Théorie de l'indicateur. Indicateurs des différents ordres

70. < >n appelle indicateur d'un nombre // et l'on désigne par o(n) le nombre des nombres non supérieurs à n et premiers ai ec lui (' ).

Il résulte de la définition que p(i) ; • •

71. Cherchons l'expression générale de ®(w). Soit n = aa6P .../'. Supposons écrits les nombres

clans cette suite barrons successivemenl les nombres divisibles par a, puis ceux divisibles par h. etc.; barrons enfin tous les nombres divisibles par /; nous aurons ainsi barré ions les nombres de la suite non premiers a\ec n et il ne restera plus qu'à voir combien il rôle de nombres dans la suite.

Or les nombres de la suite <li\ isibles par a sont :

leur nombre csl ■-■> et quand ils sont barrés il reste

n = n l i ). nombres.

Les nombres de la suite divisibles par b sont de même

Mais certains onl d£jà été barrés comme multiples <1«' a: il faul donc commencer par barrer les multiples de a de la suite i

Or soil kb un nombre de la suite (5) : pi nu- qu'il soit divisible par a, il faut et il suffit ( a et b étant premiers cuire eux | que /

Miil (li\ isililc p;n- a.

Donc pour compter combien il restera de nombres delà suite (5)

( ' ) si l'on définissait <p(n) comme le nombre des nombres plus petits que n el premiers avec lui, on aurait y(i) o, tandis qu'avec la définition du ic \t<- • ■n ,i p(i) = i.

THÉORIE de l'indicateur. 33

quand on aura barré les multiples de 6, il suffit de résoudre le même problème pour la suite

Or, d'après ce qu'on vient de dire, si dans cette suite on barre les multiples de a, il reste

r ( i ) nombres.

Ce sont ces nombres qu'il faut barrer dans les n(\

restent de la suite (4). H en restera donc

et ainsi de suite. Finalement, quand on aura barré de la suite (4) les multiples de «, de b, . . ., de /, il restera

(6) y(n)=n(i— M ^i - ij-'i* -Jj nombres.

72. Remarque I. — Si n est premier o(n) = n — i. C'est évident àpriori, et c'est d'accord avec la formule (6).

73. Remarque II. — riin) est P3*1" a moins que n = i. En effet, à tout nombre k premier avec n, correspond le nombre n — k qui est aussi premier avec /?.. D'ailleurs on ne peut avoir k = n — k

que si k = -• Mais - n'est premier avec n que si n = i. Donc, ce

cas écarté, on voit que les nombres premiers à n vont par couple-. Donc leur nombre est pair. Cela d'ailleurs résulte aussi très facilement de la formule (6).