SUR LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION. 3 I

390. Voici une autre réalisation matérielle : Inscrivons sur un carton, par ordre de grandeur, lous les nombres, depuis i jusqu'à 2" — 1, qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour dernier chiffre à droite un 1 (c'est-à-dire les nombres de la forme 2Â + 1) le premier de ces nombre esl 1; sur un second carton, imi< les nombres (depuis 1 jusqu'à 2" — 1} qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour avant- dernier chiffre un 1 (c'est-à-dire les nombres de l'une des formes ^/t + 2, \h -+- 3), le premier de ces nombres est 2 ; sur un troisième carton, tous les nombres i depuis 1 jusqu'à 2" — 1) qui, étant écrits dans le système binaire, auraient pour avant-dernier chiffre à droite un 1 < c'est-à-dire les nombres de

l'i les formes \h \.\h — "». 4 /<—<>• ; // — 7), le premier de ces nombres

esl ■>-. ...; enfin, sur un /; ;""c carton, tous les nombres (depui- 1 jusqu'à ■1" — 1) qui auraient pour nième chiffre en partant de la droite un 1 (c'està-dire les nombres 2"I, 2"- 1-t-l, 2B— '-t-2, .... 2"~l -+- 1"-1 — 1), le premier de ces nombres est 2"-1.

Dans ces conditions, il est clair que tout nombre est égal à la somme des premiers nombres des cartons sur lesquels il est inscrit. Par exemple, le nombre 53, qui s'écrit 110101, est inscrit sur le premier carton qui commence par 1, sur le troisième qui commence par 4, sur le cinquième qui commence par 16, sur le sixième qui commence par 3ï. Or

391. La numération ternaire donne des résultats analogues. Quand un nombre est écrit dans le système ternaire, les chiffres ne sont que des 1 ou «les 2. Exemple :

102 1 1 'ni.

Mais quand un chiffre est un 2, retranchons-lui >, le chiffre devient égal a (— 0 (nous l'écrirons T). Ajoutons d'ailleurs 1 au chiffre qui précède à gauche, le nombre n'aura pas changé. De proche en proche, on arrivera à ce que tous les chiffres soient des 1 en valeur absolue. Ainsi le nombre précédent s'écrit successivement

1 02 1 120 1 — 1 02 1 ».ïo 1 = 1 022TT0 [ = 11 0TTT0 1 .

Donc : tout nombre est décompûsable en une somme de puissances de 3, diminuée d'une somme d'autres puissances de 3, chaque puissance n'étant prise qu'une fois.

Une boîte de poids, contenant les poids de i"r, 3gr, </' ( 3"~l f ,

peut servir à peser tous les corps à l*r près, jusqu'à 1 -+- > -1- j2. . .3"-'

ou grammes, les poids se plaçant les uns dans un plateau, les autres

dans l'autre.

Il existe encore d'autres applications intéressantes. Voir Lucas, Récréations mathématiques 1 Paris, Gauthier-Villars).

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