Nous démontrerons d'abord les théorèmes suivants

i° La série (1) est convergente pour s>i; 20 elle est divergente pour s~l\; 3" lorsque s tend vers 1 par valeurs plus grandes que 1, la somme île cette série croit indéfiniment.

En rilet :

1° On peut grouper le- termes de la série (1) de la façon suivante :

i* ' \is~ 3*/ \4* "*" 5* 6*

■y ' (2"-+-i)* ~* ' ' ci"+

Le»»;

NOTE II

Si, dans chacun des groupes, I '>n remplace chaque terme par le premiei d'entre eux, qui cm le plu- grand, un obtient une progression géométrique

qui est convergente pour s i *'t a pour somme — •

La série ( 1 1 esl donc, a fortiori, convergente pour s f. Désignons, d'après Riemann, sa somme par Ç(s), on a

a" Si, maintenant, l'on groupe les ternie- de la façon suivante [•< ~;~ a* "l\3* "^ 4-7 \5S 6 - 8* )

et que, dans chaque groupe, l'on remplace chaque terme par le derniei d'entre eux qui est le plus petit, on obtient l'expression suivante :

la quantité entre crochet- étant une progression géométrique de raison

— — » qui est divergente pour si i. La série (i) est donc, a fortiori, divei

gente pour «Si.

: Si s i, la seconde transformation montre que

Si * tend vers i, le second membre de cette inégalité, et a fortiori le premier, croît indéfiniment.

-iOO. Nous allons maintenant montrer comment on transforme £(s) en produit contenant tous les nombres premiers.