SUR LA DÉCOMPOSITION DES NOMBRES EN FACTEURS PREMIERS

, Nous ne terminons pas l'énumération, car nous n'en avons pas besoin, n'ayant à rechercher que les facteurs premiers entre 17 et 1 7 3 . )

Les nombres premiers de l'une des formes (4), compris entre i3 et 17». sont

Les nombres premiers de l'une des formes (5), compris dans les même;

limites, sont

'7) >7> '9, 3i, ji, 43, 53, 59, 61, 97, io3, 109, 139, 167.

Donc, un facteur premier de 3oo3i doit appartenir à la fois aux deux suites (G) et (7) et, par conséquent, ne peut être que l'un des nombres

1 S) 19, 3r, 41, 5g, Ci, 109, i3g.

Enfin on peut encore faire cette remarque, à savoir que 3oo3i étant de la forme \lt — 1, a au moins un facteur premier de cette forme. Parmi les nombres (8), il ne reste donc à essayer que

Les divisions par 19 et 3 r ne réussissent pas. Mais la division par 5g réussit, et l'on trouve

3oo3i = 59 X 509.

Ainsi, pour/? = i3, l'expression A n'est plus un nombre premier ('). D'ailleurs le nombre 009 est dans la Table I. Il est premier.

410. Sur la décomposition en facteurs premiers des nombres de la forme a"l±i. — Nous nous proposons, ici encore, de déterminer certaines formes dans lesquelles sont compris les facteurs premiers des nombres de la forme a"l±i.

Examinons d'abord les nombres de la forme a"1 — 1.

Soit m' un diviseur de m. On sait que a"1' — 1 est un diviseur de a'" — 1. Donc tout facteur premier de a"1' — 1 est aussi un facteur premier de a'" — 1.

Nous pouvons donc diviser les facteurs premiers de a"1 — 1 en deux classes : i°ceu\ qui ne sont facteurs d'aucun nombre de la forme a'" — 1, m' étanl un diviseur de m ; 1" ceux qui sont facteurs de quelque nombre de cette forme.

Bornons-nous à chercher les premiers. Or on a le théorème suivant :

(') Ko continuant ce calcul, on trouve :

l'our // 1 7.

A ; '1 7 >.j g53 ; pour /) = a3,

NOTE C

111. Théorème. — Tout facteur premier impair de am — i qui n'est facteur d'aucun nombre de la forme a'" - i, m' riant un diviseur de m, est <ir la forme hm i.

En effetj soitjD un tel facteur. Dire que am i est divisible par p, mais qu'aucun nombre de la forme am'—\ n'est ili\i-il>lc par p. c'est dire que a appartient à l'exposant /// par rapport à p (n° 149). Donc /// est un diviseur de p — i ,

d'où

p — mil ■+■ i .

41:2. Cas PARTICULIER. — ni étant un nombre premier impair, tout facteur premier impair de am — r, qui ne l'est pas de a — i, est de la forme hm -+- r. D'ailleurs, devant être impair, ce facteur est de la /Dr me ihm-\-\.

Comme cas encore plus particulier on a le théorème suivant : m étant un nombre premier impair, tout facteur premier de a'" — i est de la forme i hm -+- 1.

On peut d'ailleurs, dans la recherche des facteurs de a'" — i, s'aider des résultats tirés de la théorie des formes quadratiques. En particulier, si /"

est impair, am — i = a\a ■ ) — i. Le nombre a"1 — i est donc repré sente proprement par la forme a x1 — y-.

413. Exemple. — Décompose/- en facteurs premiers io9— i 999999999 io9 — i est divisible par io3 — i = 33 x 3;, et l'on trouve

io9 — i — 33 x 3j x 1 001 001 .

Le nombre 1001001 est encore une fois divisible par 3, mais il ne l'est pas par 3j, et l'on a

Reste à décomposer 333667 en facteurs premiers.

Or les facteurs premiers de 333667 étant facteurs du nombre io'' — 1, mais ne l'étant pas du nombre 10 — 1, ni du nombre io3 — 1, sont de la forme 9/1 4-1.

D'autre part, la racine de 333667, ;| '""' unité près, esl 577.

Cherchons donc, dans la Table, les nombres premiers de la forme 9A4-1, compris entre 1 et "177. Nous trouvons

I i«i. 37, 73, 109, 127, [63, 181, 199, ( 271, 307, 371). 397, il!. [87, ïaHj .")',i.

SIR LA DÉCOMPOSITION DES NOMBRES BN FACTEURS PRBMIERS. 3?-9 D'autre pari, remarquons qu'on peu! écrire

Donc le nombre — (io9- i) est représentable proprement par la forme

Donc, d'après la Table l\. ses facteurs premiers sont de l'une des formes

Or, parmi les nombres 1 9), les seuls qui soient de l'une de ces formes sonl

(10) 37, rog, [63, 199. 271, 307, 397, (87, V.<3.

On peut encore restreindre le nombre d'essais. En effet, s'appuyanl sur ce que la racine de 333667, ■' une unité près, est J77. on trouve

Le nombre 333 667 étant représenté proprement par la forme x--^- 8 ! 1 '■'. Ii Table III montre que ses diviseurs sont de l'une des formes

328 h 1.7,... (voir la Table).

Parmi les nombre-; ( 10), les seuls qui appartiennent à l'une de ces formes sont

Enfin, remarquons que le nombre 333667 étant de la forme 4I1 — 1, a ■ m moins un facteur premier de cette forme. On peut se borner à essayer les facteurs

Si l'on essaye les divisions de 333 ">(>7 par ces nombres, aucune ne réussit . I '«ri. [33667 est premier. En définitive,

ior'— 1 - ;■ [7 x 333667.

ilt. Sombres de la forme am 1. Tout facteur premier de am-Jr\ est aussi facteur de n '"< — 1 .

La question est donc ramenée à la précédente.

Remarquons d'ailleurs qu'un facteur premier impair de am-\-\ n'est certainement pas facteu r de a"1 — 1 . puisqu'il ne divise pas la différence 2 de ces nombi es.

33o NOTE C.

415. En particulier, tout facteur premier impair d'un q ombre «le la Forme

est facteur du nombre n-"' — i, mais il ne l'est d'aucun nombre de la forme a"*' — r, m! étant un diviseur de aB+1, car un tel diviseur est delà forme aal x n >. «le sorte que le facteur en question serait aussi diviseur de a*" — i, ce qui esi impossible.

Donc tout facteur premier impair de a-"— i est de la forme

116. Exemple. Fermai avait pensé, sans en avoir de démonstration, que les nombres de la forme i-n -h 1 sont premiers.

Pour n = i,

a2 -s- i = 5 qui est premier.

Pour n = 2,