Théorème. — n et n! étant premiers entre eux, on a
o(n) o(n') = o(nn').
En effet, soient
34 CBAP. II. — COMPLÉMENTS Al \ THÉORIES 6LÉMEHTAIBES.
les deux nombres n el "' n'ayanl pas <lc facteurs premiers communs, on a
un' = z*b? .. . 0 a'«'è'P'. .. /"' '.
comme décomposition de nnl en facteurs premiers. On a donc
Donc
y(nn') = (p(/i)<p(n').
78. Théorème. — Z-a somme des indicateurs des diviseurs d'un nombre est égale à ce nombre.
En effet., considérons le produit
[<p(i)+<p(a)+T(a»)-H...-H<p(a«)][(p(i)-H-<p(ô)+...+ <p(ôP)]...[<p(i)+<p(0-H...H-?(A)].
-utfr'lû Si l'on multiplie un terme de la première somme par un terme de la seconde, par exemple tp(am) par o(bP), am et bP étant premiers entre eux, on obtient y(ambP). Multipliant ce produit par un terme de la troisième ligne o(c^), on obtient <p(ar"bPci) et ainsi de suite. On voit donc que le produit indiqué est égal à la somme des indicateurs des diviseurs du nombre n. Or
De même
etc.
Donc le produit indiqué est égal à
c'est-à-dire à />.
TI1É0RIE de l'indicateur. 35
76. Vu l'importance de ce théorème, nous allons en donner une seconde démonstration.
Soitd un diviseur de n. Cherchons combien il y a de nombres plus petits que n et ayant avec n, comme plus grand commun divisa//-, le nombre d.
Soit a uu nombre plus petit que n et tel que le plus grand
commun diviseur de a cl de n soit d. Par suite, a' = -. est plus petit que - et est premier avec Lui.
lu'ciproquement, soit a' un nombre plus petit que -. et premier
avec lui ; a'd sera plus petit que n, et aura avec lui d comme plus grand commun diviseur.
Donc le nombre cherché est égal au nombre des nombres plus
petits que -. et premiers avec lui, c'est-à-dire àoh ■
Ceci posé, soient 1 , d, df, . . ., n les diviseurs de n.
Parmi les nombres i, 2, 3, . . ., n non supérieurs à «, il y en a
cp ( — ) qui ont avec n le nombre 1 pour plus grand commun diviseur.
D'ailleurs tous les nombres 1, ?., ...,/i se trouvent dans l'énuméralion précédente. On a donc
»(rM5) + t(7)--+*(S)
ou, puisque les nombres -> -j» -p> • • • > — ne sont autres que les nombres 1 , d, d', . . . , n (n" C9),
ç(i) -f-o(rf) -+- <f(d') -f-. . .-hç(ifc) = n.
Remarque. — Généralisation de la remarque du n° 38 ofe /a première Partie. — Soit /i un nombre, a,, a2, ..., a?(/,j les nombres
plus petits que // <•! premiers avec lui. Tout nombre premier esl de
l'une des formes //// + a,, lui — v., ////-+- v.z /, . n étant un
nombre entier.
77. Indicateurs des différents ordres. — La théorie de l'indicateur se généralise de La façon suivante :
On appelle indicateur du //"'" ordre le nombre de groupes de p nombres, tous non supérieurs à n, et tels que ces p nombres et n soient premiers dans leur ensemble. On peut encore définir ces groupes, en disant que ce sont les groupes de p nombres, tous non supérieurs à n et tels que leur plus grand commun diviseur soit premier mec n. Désignons ce nombre par 3p(n).
On a
Cherchons l'expression générale de op(n).
Soit n = arj- lïï . . . P. Supposons écrits tous les groupes de p nombres non supérieurs à //. Ces groupes sont au nombre de nP. Barrons successivement les groupes dans lesquels tous les nombres sont divisibles par «, puis ceux dans lesquels tous les nombres sont divisibles par b, etc.
Or, les nombres non supérieurs à n, et divisibles par a, sont
a, -au, sa, .... —
Ils sont au nombre de - et peuvent former ( — ) groupes
de/? nombres.
Donc, si L'on barre ces groupes, il reste
/ n\P ~) groupes.
lU'l I
Le raisonnement se continue comme on l'a fait plus haut pour f(/z), et l'on trouve
DÉC0MP. EN i PRÏ-'IIERS I)L; PRODUIT TïES II PREMIERS NOMBRES. -V
Nous nous contenterons d'énoncer les théorèmes suivants :
