ROTI D

. . un

Considérons une suite <l<- <lni\ fractions -7 el

= • telles crue

a'b Va = 1.

C s deux fractions sont irréductibles, car un diviseur commun de a el b. divisant a'b el l' 11, divise leur différence <•! ne | >»■ u 1 être autre que 1.

Entre ces < I <• u \ fractions, intercalons une médiante. Nous obtenon» une suite de trois fractions formanl deux intervalles.

Dans l'un de ces intervalles ou dans les deux, intercalons encore une fraction médiante '-t nous obtenons une troisième suite.

Continuons ainsi; en général, ayant la n c -uiie dans certains des intervalles laissés par les fractions de cette suite, intercalons dés médiantes, non- obtenons une (n + i |ieme suite.

ils. < >n vnii que la définition <l<- ces suites esl susceptible «l'un grand arbitraire. Voici cependant quatre propriétés générales de ces suites :

i° Les fractions d'une suite sont rangées par ordre de grandeur

croissante. — C'est vrai | • les deux fractions de la première suite, .1

cause de la relation (1); <'i alors c'esi évidenl pour les autres suites.

■>" Toute fraction d'une suite est médiante des deux qui la comprennent. — Supposons que ce soit vrai pourla(/ï — 1 i""1L' suite, et soient

m ni m m

quatre fractions consécutives de cette suite. Supposons que nous inter-

calions une médiante ent re

et - nous obtenons P

m ... . m ni

Il fi.nn (l.-i 11 ci que , es 1 médiante de el

. si médiante de el — 7,7', cest-a-dire que

el que — .

m m m" ni"

Or (t- deux égalités sont vraies, car elles se réduisent à

///' ni -t- ni"

m" ni m

ég dites \ 1 aies par bj pol bèse.