SUITES DE BROCOT KT DE FAR ET
ils. Entre deux fractions consécutives > - , existe la relation
m ' p — mp' = l .
En effet, c'est vrai par hypothèse pour les deux, fractions de la première
suite; démontrons que si e est \rai pour les tractions — et — T ce sera
encore vrai pour les deux tractions — et — r-, ainsi crue pour le-
. . m ■+- m' m' tractions - — , et — T • /' '/' P
Or
( m -t- m' ) p — ( p // \m = ni' p —pin' = i
et
m' (p -i- p' ) — // 1 m -+• m' ) = m' p — pm! = i .
Le théorème est donc démontré.
j" Toute fraction d'une des suites est irréductible. En effet, l'égalité m' p — mp = \ montre que m et p sont premiers entre eux.
i 19. Suites de Brocot. — Les suites de Brocot s'obtiennent en partant des
deux fractions - et - et intercalant des médiantes dans tous les intervalles i i
qui se présentent. On obtient ainsi les suites suivantes :
2. l 1 ï 1 A 2 : A 1 A 1 A l A 1 • ' 1 ' L 3 ii l " 9- ~ 1 s 3 " 4 5
120. Suites de Farey. — Les suites de Faiw s'obtiennent en partant des
deux mêmes tractions - et -, mais en n intercalant de médian tes 7// e/if; <■ 1 1 y
les fractions dont la somme des dénominateurs est égale au rang dr
334 NOTE I)
la suite que l'on forme. On obtient ainsi
Par exemple, pour passer de la sixième suite à la septième, on n'a intercalé des médiantes que dans les intervalles
421. D'après la façon dont les suites de Farej oni été formées, il n'y a dans la n"'me suite que des fractions irréductibles plus petites que i etdonl le dénominateur ne dépasse pas n; je dis de plu- *.\\\elles y sont toutes.
En effet, supposons que ce soit vrai pour la ( n — \ | """ suite.
Soit alors —une fraction irréductible plus petite que i. je ili- qu'elle
est dans la n""'c suite. En effet, n'étant pas dans la (n— i)ieme suite esi
comprise entre deux termes de cette suite • et - ,
Un n a i>as p -t- n < n, car sinon la traction — r) mcdiaiiic < le -
'"' • i • . i , -i mm'
et — t appartiendrait a la (n — i )"""' suite, de sorte iiue — et — T ne seraient
pas deux fractions consécutives de cette suite.
Posons
cp — mn = a,
ni' n — p' c = 'p ;
a et p sont des entiers positifs.
